Question

矩阵合同的判定条件是什么？

Answer 1

1、合同即特征值正负0个数分别相同；

2、相似，特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量；

3、等价，秩相等；

合同和相似是特殊的等价关系。

等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。

A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。

合同和上面看起太有点像，是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。

如果矩阵是正规矩阵，那么相似可以推出合同。

ps，研究合同时往往要求矩阵是对称阵。对称阵都是正规阵。

扩展资料：

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

设A，B是数域P上两个n*n矩阵：

(1) A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵  与  等价。

(2) A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

(3) 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

参考资料来源：百度百科——合同矩阵

参考资料来源：百度百科——矩阵相似

参考资料来源：百度百科——等价矩阵