Question

若f(x)在（-∞，+∞）上连续，且f(x) 的极限存在。证明f(x)在（-∞，+∞）上有界。

Answer 1

　　条件 “且 f(x)的极限存在” 应该为 “f(x) 当 x→∞ 时的极限存在”。
　　证明 由于 f(x) 当 x→∞ 时的极限存在，据极限的局部有界性，存在 M1>0 和 X>0，使得当 |x|>X 时，有
　　　　|f(x)| ≤ M1；
而 f∈C[-X,X]，据闭区间上连续函数的有界性，可知存在 M2>0，使对任意 x∈[-X,X]，有
　　　　|f(x)| ≤ M2；
取 M = max{M1,M2}，则……。