已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).?

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舒适还明净的海鸥i
2022-11-05 · TA获得超过1.7万个赞
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解题思路:(1)利用函数单调性的定义证明函数的单调性的步骤,第一步,设所给区间上任意两个自变量x 1,x 2,且x 1<x 2,第二步,作差比较F(x 1)与F(x 2)的大小,第三步,得出结论,本题严格按照步骤去做,比较F(x 1)与F(x 2)时,要借助函数f(x)的单调性.
(2)要证明函数y=F(x)的图象关于点([a/2],0)成中心对称图形,只需证明函数y=F(x)的图象上任意一点关于点
([a/2],0)的对称点在函数y=F(x)的图象上即可,先利用中点坐标公式求出函数y=F(x)的图象上任意一点关于点
([a/2],0)的对称点坐标,再代入函数y=F(x)的解析式,看是否成立即可.
(1)任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则F(x1)-F(x2)
=f(x1)-f(a-x1)-[f(x2)-f(a-x2)].
=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].
∵x1<x2,∴-x1>-x2,∴a-x1>a-x2,
∵函数f(x)是定义在R上的增函数,∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).
∴f(x1)-f(x2)<0,f(a-x2)-f(a-x1)<0.
∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.
即F(x1)<F(x2),
∴F(x)是R上的增函数.
(2)设M(x0,y0)为函数y=F(x)的图象上任一点,设点M(x0,y0)关于点([a/2],0)的对称点为N(m,n),
则[a/2]=
x0+m
2,0=
y0+n
2,,∴m=a-x0,n=-y0,
∵把m=a-x0代入F(x)=f(x)-f(a-x).
得,f(a-x0)-f(a-a+x0)=f(a-x0)-f(x0)=-y0=n
即点N(m,n)在函数F(x)的图象上.
∴函数y=F(x)的图象关于点([a/2],0)成中心对称图形.
,6,已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;
(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点([a/2],0)成中心对称图形.
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