Question

二阶偏导数的意义

Answer 1

问题一：二阶导数的意义 简单来说，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。
连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。
而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

问题二：多元函数二阶混合偏导意义 ?z/?x：表示的是函数沿着 x 方向的变化率；
?2z/?x2：表示的是函数沿着 x 方向的凹凸情况：
大于0时，开口向上 = concave up；
小于0时，开口向下 = concave down；
归结起来就是研究开口性 = concavity。
?2z/?y2：是研究函数沿着 y 方向上的开口性。
?(?z/?x)/?y = ?2z/?y?x :
表示的是沿着 x 方向上的变化率在 y 方向上是否保持一样？
举例来说：
1、平面波在前进方向中的任何一个瞬间，在波形上任何一点的斜率；
2、在垂直于波前进的水平方向 y 上看去，是整整齐齐、步伐同一的；
3、真是由于规律是一样的，没有变化的，数学上表现就是混导为0；
若混导大于 0 表示沿着 y 方向看去，越来越陡削；感觉上滞后了；
若混导小于 0 表示沿着 y 方向看去，越来越平坦；感觉上超前了。

问题三：二阶偏导数的几何意义 20分 对x的偏导，是曲线在点处的切线对x轴的斜率；
对y的偏导，是曲线在点处的切线对y轴的斜率；

问题四：二阶导数的几何意义 （1）切线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）这里以物理学中的瞬时加速度为例:根据定义有可如果加速度并不是恒定的 某点的加速度表达式就为：a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)又因为v=dx/dt 所以就有a=dv/dt=d2x/dt2 即元位移对时间的二阶导数将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）f''(x)=d2y/dx2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)

问题五：二阶混合偏导数有何几何或者物理意义？ 一楼所言.是一阶偏导数的几何意义.
“二阶混合偏导数”,没有能够“直接看出”的“几何意义”.
F〃xy（x0,y0）＝（F′x（x0,y）'y（y0）
也就是,先作一个一元函数Φ（y）＝F′x（x0,y）,图像z＝Φ（y）在（y0,Φ（y0））处的切线的斜率,就是F〃xy（x0,y0）的“几何意义”.
只能这样