Question

fx在[0,1]上连续,f(1)=0,f(0)=1,证明存在一点c,使得f(c)=c

fx在[0,1]上连续,f(1)=0,f(0)=1,证明存在一点c,使得f(c)=c

Answer 1

设计函数g（x）=f（x）-x
因为f（x）和x这两个函数在[0，1]区间上连续。
所以g（x）在[0，1]区间上也连续。
依题意，有
g（1）=f（1）-1=0-1=-1＜0
g（0）=g（0）-0=1-0=1＞0
所以根据介值定理，在[0，1]区间上至少存在一点c，使得g（c）=0
即至少存在一点c，使得f（c）-c=g（c）=0
即成·至少存在一点c，使得f（c）=c