Question

设A是一个n阶对称矩阵,若对任意的X=[x1,x2,……xn]^T,有X^TAX=O,求证A=O

Answer 1

取 X=(0,...,0,1,0,...,0)^T,第i个分量为1,其余为0
则 0=X^TAX=aii
取 X=(0,...,1,...,1,...,0)^T,第i,j个分量为1,其余为0
则 0=X^TAX=aii+ajj+aij+aji=aij+aji
又因为 aij=aji
所以 aij=aji=0
所以 A=O.