Question

著名数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89.后项等于前二项之和.试求数列之和 试试看

Answer 1

设斐波那契数列的通项为An.
（事实上An = (p^n - q^n)/√5,其中p = (√5 - 1)/2, q = (√5 + 1)/2.但这里不必解它）
然后记
Sn = A1 + A2 + ... + An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1, S2 = 2, S3 = 4.
所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
（p, q值同An中的p, q）.
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n