Question

高等数学，微分方程部分，这道题怎么做？x的绝对值怎么没了？

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Answer 1

求方程：dy/dx=y/x-(1/2)(y/x)³满足x=1时y=1的特解。
解：令y/x=u，则y=ux；于是dy/dx=(du/dx)x+u;
代入原式得 (du/dx)x+u=u-(1/2)u³
化简得(du/dx)x=(1/2)u³
分离变量得du/u³=(1/2x)dx
积分之得 -1/(2u²)=(1/2)lnx+(1/2)lnc=(1/2)ln(cx)
化简得 -1/u²=ln(cx)
1/u²=-lncx；u²=-1/lncx，u=√(-1/lncx)
故通解为y=x√(-1/lncx)
将初始条件x=1,y=1代入得1=√(-1/lnc)，1=-1/lnc，lnc=-1，故c=1/e；
于是得特解 y=x√[-1/ln(x/e)]=x√[1/(1-lnx)].

Answer 2

这种题目倒是老碰见。你是不是觉着应该像求不定积分一样加个绝对值呀？微分方程的通解并不是所有解，只是若干解的表达式，这个绝对值完全没有必要加，书上在这一块也是这么处理的。

追问

我算不出这个结果，根号下怎么就加1了？还有那个取值范围是怎么来的？

追答

至于取值，这个式子的定义域呗。

追问

那个C写成lnC行不行？

如果写成lnC结果就成这样了:

追答

你写成lnC也没用，初始条件一代进去，C=e，化简下来还是我解出来的那样。

追问

不啊，你看看我的解题步骤对不对

我再加点悬赏，这个题我得弄会

追答

对是对了，你把初始条件代进去，得C=e，即y=x/(lnex)^(1/2)，化简之后这和原来所求没有差别。

追问

噢噢，懂了