Question

给定一个集合A,|A|=n,求在A上有多少个不同的等价关系?

Answer 1

这个的答案是：贝尔数（Bell Number）
没有准确求出Bell Number的公式,只能递推.
A上的等价关系与集合A的划分一一对应,所以只要求出A的划分数即可.
所谓A的划分,是指把A分成子集A1、A2、……,这些集合非空、两两不相交、且并集为A.
每一个等价关系对应一个划分：元素a、b等价当且进当它们属于同一子集.
A的划分数就叫贝尔数B(n).
下面求贝尔数.
S(n,k)代表元素数量为n的集合A划分成k个子集的方法.
B(n)=S(n,1)+S(n,2)+...+S(n,n)
主要的递推关系是求S(n,k)的.
S(n,k) = S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)
这个公式的意思是这样：
把n个元素划分成k个子集,有两种情形：
1.最后一个元素an单独构成一个子集.
这相当于其它n-1个元素被划分成k-1个子集,然后再加上{an}这个子集.
所以,这种情形的数量是：S(n-1,k-1)
2.最后一个元素an不单独构成一个子集.
这相当于其它n-1个元素被划分成k个子集,然后再挑选一个子集（k种方式挑选）把an放入.
所以,这种情形的数量是：k S(n-1,k)
把1、2种情形相加,就是上面那个递推公式了.
为了用上面那个递推公式求出值来,还需要初始条件：
S(n,1) = S(n,n) = 1
如果你想找更多的资料,可以看下面的链接.
在下面参考资料的链接中,我们这里的S(n,k)被称为：
二型斯特林数（Stirling Number of the Second Kind）.