如何证明若系数矩阵a对称正定，则gs收敛
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A=D-L-U
(D-L)^{-1}Ux=λx
=>Ux=λ(D-L)x
左乘x^H得到
x^HUx=λx^H(D-L)x
记x^HDx=d, x^HLx=a+ib, 那么x^HUx=a-ib, x^HAx=d-2a
由条件得d>0, d-2a>0
而|λ|=|a-ib|/|d-a-ib|
|d-a-ib|^2=d^2-2ad+a^2+b^2=d(d-2a)+a^2+b^2>a^2+b^2=|a-ib|^2
所以|λ|<1
(D-L)^{-1}Ux=λx
=>Ux=λ(D-L)x
左乘x^H得到
x^HUx=λx^H(D-L)x
记x^HDx=d, x^HLx=a+ib, 那么x^HUx=a-ib, x^HAx=d-2a
由条件得d>0, d-2a>0
而|λ|=|a-ib|/|d-a-ib|
|d-a-ib|^2=d^2-2ad+a^2+b^2=d(d-2a)+a^2+b^2>a^2+b^2=|a-ib|^2
所以|λ|<1
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