Question

求证2^x-x^2-1=0有且只有三个根

Answer 1

令f(x)=2^x-x^2-1,则
f'(x)=2^x*ln2-2x,
f"(x)=2^x*ln2*ln2-2
所以f(x)有且只有一个拐点，所以图形先递增后递减再递增。
又f(0)=0,
f(1)=0,
f(2)=f(4)=-1,
f(正无穷大)=正无穷大，
从而根据零点定理证明有且只有三个根。

Answer 2

用作图方法

Answer 3

证明：首先容易观察出x=0时，等式成立。所以x=0是方程的一个解。
将方程变形得：x(2)=2(x)-1
当x不等于0时，2(x)-1大于零。
所以x(2)=2(x)-1会有两个不相等的根（一个正的一个负的）
所以原方程有且只有三个根。

Answer 4

楼上的解法我认为不准确
当x不等于0时，就可以得出2(x)-1大于零吗？
那要是X=-1时不就等于1/2-1=-1/2吗！！
所以他的解法有点错误

当然答案是对的
首先容易观察出x=0时，等式成立。所以x=0是方程的一个解。
X^2=2^X-1可以得出1也是一个解。
还可以画图表示一下
至于那一个根方法其实根楼上的差不多，
可以结合图形和函数式然后再算……