如何求矩阵的秩?都有哪些方法?
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一般有以下几种方法:
1、计算A^2,A^3 找规律,然后用归纳法证明。
2、若r(A)=1,则A=αβ^T,A^n=(β^Tα)^(n-1)A
注:β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)
3、分拆法:A=B+C,BC=CB,用二项式公式展开。
适用于 B^n 易计算,C的低次幂为零:C^2 或 C^3 = 0
4、用对角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
矩阵的秩计算方法:矩阵的行秩,列秩,秩都相等,初等变换不改变矩阵的秩,如果A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B),矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
引理:设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n,当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵,当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零。
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