Question

怎么用初等变换求逆矩阵

Answer 1

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

1、初等列变换。

同样地，定义初等列变换，即：

（1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列。

（2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数。

（3）互换矩阵中两列的位置。

2、初等变换。

以下为行列式的初等变换：

（1）换行变换：交换两行（列）。

（2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。

（3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。

3、基于行列式的基本性质，对行列式作初等变换，有如下特征：

换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。

初等矩阵性质：

1、设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2……Pn，使得A=P1P2......Pn。

3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得B=PAQ。