高等数学 心形线绕极轴转一圈的体积怎么求？求过程 10
心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π。
故所求旋转体体积
V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ
= (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ
= -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)
= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3。
单位换算
1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸。
1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸。
1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=1000000000立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方码。
1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米。
1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=28300000立方毫米。
1 立方码=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=164600000立方毫米。
1 立方尺 = 31.143蒲式耳(英) = 32.143 蒲式耳(美）。
1 加仑(美) =0.0037854118 立方米 =0.8326741845 加仑（英）。
以上内容参考：百度百科-体积
心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π
极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形(0<θ<π)。
所求旋转体体积
V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ
= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3
极坐标方程
水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)
垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)
直角坐标方程
心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）
以上内容参考：百度百科-心脏线
心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π，
故所求旋转体体积
V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ
= (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ
= -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)
= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3
扩展资料：
极坐标方程
水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)
垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)
直角坐标方程
心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）
参数方程
x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))
所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。
心形线 f（θ）=a（1+cos（θ）），当a=1时，绕极轴旋转一周所得的体积=5.14.
故所求旋转体体积
V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ
= (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ
= -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)
= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3
