初二年级上数学期末试卷及答案
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一、选择题：（每题2分，共12分）
1．在二次根式 、 、 中，最简二次根式的个数（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 0个
考点： 最简二次根式．
分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答： 解： = ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
= 被开方数含分母，不是最简二次根式；
符合最简二次根式的定义，是最简二次根式．
故选：A．
点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0，则m的值为（ ）
A． m=2 B． m=﹣2 C． m=﹣2或2 D． m≠0
考点： 一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x=0代入一元二次方程即可得出m的值．
解答： 解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，
得m2﹣4=0，
解得：m=±2，
∵m﹣2≠0，
∴m=﹣2，
故选B．
点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
3．在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；正比例函数的图象．
分析： 根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可．
解答： 解：∵正比例函数y=x中，k=1＞0，
故其图象过一、三象限，
反比例函数y=﹣ 的图象在二、四象限，
选项C符合；
故选C．
点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
4．已知反比例函数y= （k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是 （ ）
A． y1＜y2 B． y1＞y2 C． y1=y2 D． 不能确定
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 由于反比例函数y= （k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，由于x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，于是根据二次函数的增减性判断出y1与y2的大小．
解答： 解：∵反比例函数y= （k＜0）的k＜0，可见函数位键盯于二、四象限，
∵x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，
由于在二四象限内，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2．
故选A．
点评： 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．
5．下列定理中，有逆定理存在的是（ ）
A． 对顶角相等
B． 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C． 全等三角形的面积相等
D． 凡直角都相等
考点： 命题与定理．
分析： 先写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、线段垂直平分线的逆定理、全等三角形的判定和直角的定义进行判断．
解答： 解：A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为含伏假命题，所以A选项错误；
B、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”，此逆命题为真命题，所以B选项正确；
C、“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，此逆命题为假命题，所以C选项错误；
D、“谈亮携凡直角都相等”的逆命题为“相等的角都是直角”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了定理．
6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（ ）
A． 8cm B． 10cm C． 12cm D． 14cm
考点： 角平分线的性质；等腰直角三角形．
分析： 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．
解答： 解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴DE=AD，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=AE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故选B．
点评： 本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．
二、填空题：（每题3分，共36分）
7．化简： = 3 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可．
解答： 解：原式=
=3 ．
故答案为：3 ．
点评： 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
8．分母有理化 = ﹣ ﹣1 ．
考点： 分母有理化．
分析： 先找出分母的有理化因式，再把分子与分母同时乘以有理化因式，即可得出答案．
解答： 解： =﹣ ﹣1；
故答案为：﹣ ﹣1．
点评： 此题考查了分母有理化，找出分母的有理化因式是本题的关键，注意结果的符号．
9．方程x（x﹣5）=6的根是 x1=﹣1，x2=6 ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解答： 解：x2﹣5x﹣6=0，
（x+1）（x﹣6）=0，
x+1=0或x﹣6=0，
所以x1=﹣1，x2=6．
故答案为x1=﹣1，x2=6．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
10．某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为 405O 元．
考点： 一元二次方程的应用．
分析： 先求出第一次降价以后的价格为：原价×（1﹣降价的百分率），再根据现在的价格=第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）即可得出结果．
解答： 解：第一次降价后价格为5000×（1﹣10%）=4500元，
第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为4500×（1﹣10%）=4050元．
答：两次降价后的价格为405O元．
故答案为：405O．
点评： 本题考查一元二次方程的应用，根据实际问题情景列代数式，难度中等．若设变化前的量为a，平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a（1±x）2．
11．函数 的自变量的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为x≥1且x≠2．
点评： 本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．如果 ，那么 = 1 ．
考点： 函数值．
分析： 把自变量的值代入函数关系式计算即可得解．
解答： 解：f（ ）= =1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了函数值求解，准确计算是解题的关键．
13．在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣2= 2（x﹣ ）（x﹣ ） ．
考点： 实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等．
分析： 因为2x2﹣x﹣2=0的两根为x1= ，x2= ，所以2x2﹣x﹣2=2（x﹣ ）（x﹣ ）．
解答： 解：2x2﹣x﹣2=2（x﹣ ）（x﹣ ）．
点评： 先求出方程2x2﹣x﹣2=0的两个根，再根据ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）即可因式分解．
14．经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是 线段AB的垂直平分线 ．
考点： 轨迹．
分析： 要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
解答： 解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
点评： 此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键．
15．已知直角坐标平面内两点A（4，﹣1）和B（﹣2，7），那么A、B两点间的距离等于 10 ．
考点： 两点间的距离公式．
分析： 根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB= ．
解答： 解：A、B两点间的距离为： = =10．
故答案是：10．
点评： 此题考查了坐标平面内两点间的距离公式，能够熟练运用公式进行计算．
16．请写出符合以下条件的一个函数的解析式 y=﹣x+4（答案不） ．
①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．
考点： 一次函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据“y随x的增大而减小”所写函数的k值小于0，所以只要再满足点（3，1）即可．
解答： 解：根据题意，所写函数k＜0，
例如：y=﹣x+4，
此时当x=3时，y=﹣1+4=3，
经过点（3，1）．
所以函数解析式为y=﹣x+4（答案不）．
点评： 本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不，只要满足条件即可．
17．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=4，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长为 2 ．
考点： 角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据角平分线性质得出PD=PE，根据平行线性质和角平分线定义、三角形外角性质求出∠PCE=60°，角直角三角形求出PE，得出PD长，求出OP，即可求出答案．
解答： 解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠BOP=30°，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵CP∥OA，∠AOP=∠BOP=30°，
∴∠CPO=∠AOP=30°，
∴∠PCE=30°+30°=60°，
在Rt△PCE中，PE=CP×sin60°=4× =2 ，
即PD=2 ，
∵在Rt△AOP中，∠ODP=90°，∠DOP=30°，PD=2 ，
∴OP=2PD=4 ，
∵M为OP中点，
∴DM= OP=2 ，
故答案为：2 ．
点评： 本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形的应用，题目比较典型，综合性比较强．
18．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 3或6 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形．
解答： 解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= =10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=10﹣6=4，
设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
∴BE=3；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述，BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、简答题：（每题6分，共36分）
19．化简： ．
考点： 二次根式的加减法．
分析： 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
解答： 解：原式= •2 +8a• ﹣a2•
=a +2a ﹣a
=2a ．
点评： 本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
20．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0．当m为何值时，方程有两个实数根？
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： （m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0，方程有两个实数根，从而得出△≥0，即可解出m的范围．
解答： 解：∵方程有两个实数根，∴△≥0；
（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）≥0；
∴ ；
又∵方程是一元二次方程，∴m﹣1≠0；
解得m≠1；
∴当 且m≠1时方程有两个实数根．
点评： 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
21．如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PA⊥x轴，S△PAO
=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：
（1）反比例函数解析式．
（2）m的值．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
分析： （1）此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△PAO的面积为点P向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S= |k|，再结合反比例函数所在的象限确定出k的值，则反比例函数的解析式即可求出；
（2）将（1，3m﹣1）代入解析式即可得出m的值．
解答： 解：（1）设反比例函数解析式为 ，
∵过点P（x，y），
∴ xy=4，
∴xy=8，
∴k=xy=8，
∴反比例函数解析式是： ；
（2）∵图象经过（1，3m﹣1），
∴1×（3m﹣1）=8，
∴m=3．
点评： 本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
22．假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：
（1）这是一次 100 米赛跑．
（2）甲乙两人中，先到达终点的是 甲 ．
（3）乙在这次赛跑中的速度为 8米/秒 ．
考点： 函数的图象．
分析： （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得答案；
（3）根据乙的路程除以乙的时间，可得答案．
解答： 解：（1）由纵坐标看出，这是一次 100米赛跑；
（2）由横坐标看出，先到达终点的是甲；
（3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒，
乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5=8米/秒，
故答案为：100，甲，8米/秒．
点评： 本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键．
23．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，CD= AB，求证：DF⊥CE．
考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE= AB，再求出DE=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
解答： 证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高，在Rt△ADB中，CE是中线，
∴DE= AB，
∵CD= AB，
∴DC=DE，
∵F是CE中点，
∴DF⊥CE．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以AC为边作等边△ACD，并作斜边AB的垂直平分线EH，且EB=AB，联结DE交AB于点F，求证：EF=DF．
考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出BC= AB，BH= AB，推出BC=BH，推出Rt△ACB≌Rt△EHB，根据全等得出EH=AC，求出EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=90°，根据AAS推出△EHF≌△DAF，根据全等三角形的性质得出即可．
解答： 证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AB，
∵EH垂直平分AB，
∴BH= AB，
∴BC=BH，
在Rt△ACB和Rt△EHB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△EHB（HL），
∴EH=AC，
∵等边△ACD中，AC=AD，
∴EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=60°+30°=90°，
在△EHF和△DAF中，
，
∴△EHF≌△DAF （AAS）
∴EF=DF．
点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．
四、解答题：（每题8分，共16分）
25．如图，直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y= （k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．
（1）求k的值．
（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．
（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．
（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．
（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．
解答： 解：（1）设A点的坐标为（4，λ）；
由题意得： ，解得：k=8，
即k的值=8．
（2）如图，设E点的坐标为E（m，n）．
则n= m，即DE= m；而OD=m，
∴S= OD•DE= m× m= ，
即S关于m的函数解析式是S= ．
（3）当S=1时， =1，解得m=2或﹣2（舍去），
∵点C在函数y= 的图象上，
∴CD= =4；由（1）知：
OB=4，AB=2；BD=4﹣2=2；
∴ =6，
，
=4；
∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD﹣S△AOB
=6+4﹣4=6．
点评： 该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．
26．如图，正方形ABCD的边长为4厘米，（对角线BD平分∠ABC）动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．联结AQ，交BD于点E．设点P运动时间为t秒．
（1）用t表示线段PB的长；
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BEP和∠BEQ相等；
（3）当t为何值时，P、Q之间的距离为2 cm．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）由正方形的性质和已知条件即可得出结果；
（2）由正方形的性质得出∠PBE=∠QBE，由AAS证明△BEP≌△BEQ，得出对应边相等BP=BQ，得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤2时；②当2＜t＜4时；由勾股定理得出方程，解方程即可．
解答： 解：（1）PB=AB﹣AP，
∵AB=4，AP=1×t=t，
∴PB=4﹣t；
（2）t= 时，∠BEP和∠BEQ相等；理由如下：
∵四边形ABCD正方形，
∴对角线BD平分∠ABC，
∴∠PBE=∠QBE，
当∠BEP=∠BEQ时，
在△BEP与△BEQ中， ，
∴△BEP≌△BEQ（AAS），
∴BP=BQ，
即：4﹣t=2t，
解得：t= ；
（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤2时；（即当P点在AB上，Q点在BC上运动时），
连接PQ，如图1所示：
根据勾股定理得： ，
即（4﹣t）2+（2t）2=（2 ）2，
解得：t=2或t=﹣ （负值舍去）；
②当2＜t＜4时，（即当P点在AB上，Q点在CD上运动时），
作PM⊥CD于M，
如图2所示：
则PM=BC=4，CM=BP=4﹣t，
∴MQ=2t﹣4﹣（4﹣t）=3t﹣8，
根据勾股定理得：MQ2+PM2=PQ2，
即 ，
解得t= 或t=2（舍去）；
综上述：当t=2或 时；PQ之间的距离为2 cm．
点评： 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据勾股定理得出方程，解方程才能得出结果．
1．在二次根式 、 、 中，最简二次根式的个数（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 0个
考点： 最简二次根式．
分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答： 解： = ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
= 被开方数含分母，不是最简二次根式；
符合最简二次根式的定义，是最简二次根式．
故选：A．
点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0，则m的值为（ ）
A． m=2 B． m=﹣2 C． m=﹣2或2 D． m≠0
考点： 一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x=0代入一元二次方程即可得出m的值．
解答： 解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，
得m2﹣4=0，
解得：m=±2，
∵m﹣2≠0，
∴m=﹣2，
故选B．
点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
3．在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；正比例函数的图象．
分析： 根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可．
解答： 解：∵正比例函数y=x中，k=1＞0，
故其图象过一、三象限，
反比例函数y=﹣ 的图象在二、四象限，
选项C符合；
故选C．
点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
4．已知反比例函数y= （k＜0）的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是 （ ）
A． y1＜y2 B． y1＞y2 C． y1=y2 D． 不能确定
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 由于反比例函数y= （k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，由于x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，于是根据二次函数的增减性判断出y1与y2的大小．
解答： 解：∵反比例函数y= （k＜0）的k＜0，可见函数位键盯于二、四象限，
∵x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，
由于在二四象限内，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2．
故选A．
点评： 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．
5．下列定理中，有逆定理存在的是（ ）
A． 对顶角相等
B． 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C． 全等三角形的面积相等
D． 凡直角都相等
考点： 命题与定理．
分析： 先写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、线段垂直平分线的逆定理、全等三角形的判定和直角的定义进行判断．
解答： 解：A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为含伏假命题，所以A选项错误；
B、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”，此逆命题为真命题，所以B选项正确；
C、“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，此逆命题为假命题，所以C选项错误；
D、“谈亮携凡直角都相等”的逆命题为“相等的角都是直角”，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了定理．
6．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（ ）
A． 8cm B． 10cm C． 12cm D． 14cm
考点： 角平分线的性质；等腰直角三角形．
分析： 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．
解答： 解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴DE=AD，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵ ，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=AE，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故选B．
点评： 本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．
二、填空题：（每题3分，共36分）
7．化简： = 3 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可．
解答： 解：原式=
=3 ．
故答案为：3 ．
点评： 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
8．分母有理化 = ﹣ ﹣1 ．
考点： 分母有理化．
分析： 先找出分母的有理化因式，再把分子与分母同时乘以有理化因式，即可得出答案．
解答： 解： =﹣ ﹣1；
故答案为：﹣ ﹣1．
点评： 此题考查了分母有理化，找出分母的有理化因式是本题的关键，注意结果的符号．
9．方程x（x﹣5）=6的根是 x1=﹣1，x2=6 ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解答： 解：x2﹣5x﹣6=0，
（x+1）（x﹣6）=0，
x+1=0或x﹣6=0，
所以x1=﹣1，x2=6．
故答案为x1=﹣1，x2=6．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
10．某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为 405O 元．
考点： 一元二次方程的应用．
分析： 先求出第一次降价以后的价格为：原价×（1﹣降价的百分率），再根据现在的价格=第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）即可得出结果．
解答： 解：第一次降价后价格为5000×（1﹣10%）=4500元，
第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为4500×（1﹣10%）=4050元．
答：两次降价后的价格为405O元．
故答案为：405O．
点评： 本题考查一元二次方程的应用，根据实际问题情景列代数式，难度中等．若设变化前的量为a，平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a（1±x）2．
11．函数 的自变量的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答： 解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为x≥1且x≠2．
点评： 本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．如果 ，那么 = 1 ．
考点： 函数值．
分析： 把自变量的值代入函数关系式计算即可得解．
解答： 解：f（ ）= =1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了函数值求解，准确计算是解题的关键．
13．在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣2= 2（x﹣ ）（x﹣ ） ．
考点： 实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等．
分析： 因为2x2﹣x﹣2=0的两根为x1= ，x2= ，所以2x2﹣x﹣2=2（x﹣ ）（x﹣ ）．
解答： 解：2x2﹣x﹣2=2（x﹣ ）（x﹣ ）．
点评： 先求出方程2x2﹣x﹣2=0的两个根，再根据ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）即可因式分解．
14．经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是 线段AB的垂直平分线 ．
考点： 轨迹．
分析： 要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
解答： 解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
点评： 此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键．
15．已知直角坐标平面内两点A（4，﹣1）和B（﹣2，7），那么A、B两点间的距离等于 10 ．
考点： 两点间的距离公式．
分析： 根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB= ．
解答： 解：A、B两点间的距离为： = =10．
故答案是：10．
点评： 此题考查了坐标平面内两点间的距离公式，能够熟练运用公式进行计算．
16．请写出符合以下条件的一个函数的解析式 y=﹣x+4（答案不） ．
①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．
考点： 一次函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据“y随x的增大而减小”所写函数的k值小于0，所以只要再满足点（3，1）即可．
解答： 解：根据题意，所写函数k＜0，
例如：y=﹣x+4，
此时当x=3时，y=﹣1+4=3，
经过点（3，1）．
所以函数解析式为y=﹣x+4（答案不）．
点评： 本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不，只要满足条件即可．
17．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=4，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长为 2 ．
考点： 角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据角平分线性质得出PD=PE，根据平行线性质和角平分线定义、三角形外角性质求出∠PCE=60°，角直角三角形求出PE，得出PD长，求出OP，即可求出答案．
解答： 解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠BOP=30°，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵CP∥OA，∠AOP=∠BOP=30°，
∴∠CPO=∠AOP=30°，
∴∠PCE=30°+30°=60°，
在Rt△PCE中，PE=CP×sin60°=4× =2 ，
即PD=2 ，
∵在Rt△AOP中，∠ODP=90°，∠DOP=30°，PD=2 ，
∴OP=2PD=4 ，
∵M为OP中点，
∴DM= OP=2 ，
故答案为：2 ．
点评： 本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形的应用，题目比较典型，综合性比较强．
18．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 3或6 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB′为正方形．
解答： 解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC= =10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，
∴EB=EB′，AB=AB′=6，
∴CB′=10﹣6=4，
设BE=x，则EB′=x，CE=8﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
∴BE=3；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述，BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、简答题：（每题6分，共36分）
19．化简： ．
考点： 二次根式的加减法．
分析： 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
解答： 解：原式= •2 +8a• ﹣a2•
=a +2a ﹣a
=2a ．
点评： 本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
20．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0．当m为何值时，方程有两个实数根？
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： （m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0，方程有两个实数根，从而得出△≥0，即可解出m的范围．
解答： 解：∵方程有两个实数根，∴△≥0；
（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）≥0；
∴ ；
又∵方程是一元二次方程，∴m﹣1≠0；
解得m≠1；
∴当 且m≠1时方程有两个实数根．
点评： 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
21．如图，已知点P（x，y）是反比例函数图象上一点，O是坐标原点，PA⊥x轴，S△PAO
=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：
（1）反比例函数解析式．
（2）m的值．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．
分析： （1）此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△PAO的面积为点P向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即S= |k|，再结合反比例函数所在的象限确定出k的值，则反比例函数的解析式即可求出；
（2）将（1，3m﹣1）代入解析式即可得出m的值．
解答： 解：（1）设反比例函数解析式为 ，
∵过点P（x，y），
∴ xy=4，
∴xy=8，
∴k=xy=8，
∴反比例函数解析式是： ；
（2）∵图象经过（1，3m﹣1），
∴1×（3m﹣1）=8，
∴m=3．
点评： 本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
22．假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：
（1）这是一次 100 米赛跑．
（2）甲乙两人中，先到达终点的是 甲 ．
（3）乙在这次赛跑中的速度为 8米/秒 ．
考点： 函数的图象．
分析： （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得答案；
（3）根据乙的路程除以乙的时间，可得答案．
解答： 解：（1）由纵坐标看出，这是一次 100米赛跑；
（2）由横坐标看出，先到达终点的是甲；
（3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒，
乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5=8米/秒，
故答案为：100，甲，8米/秒．
点评： 本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键．
23．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，CD= AB，求证：DF⊥CE．
考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE= AB，再求出DE=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
解答： 证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高，在Rt△ADB中，CE是中线，
∴DE= AB，
∵CD= AB，
∴DC=DE，
∵F是CE中点，
∴DF⊥CE．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以AC为边作等边△ACD，并作斜边AB的垂直平分线EH，且EB=AB，联结DE交AB于点F，求证：EF=DF．
考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出BC= AB，BH= AB，推出BC=BH，推出Rt△ACB≌Rt△EHB，根据全等得出EH=AC，求出EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=90°，根据AAS推出△EHF≌△DAF，根据全等三角形的性质得出即可．
解答： 证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AB，
∵EH垂直平分AB，
∴BH= AB，
∴BC=BH，
在Rt△ACB和Rt△EHB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△EHB（HL），
∴EH=AC，
∵等边△ACD中，AC=AD，
∴EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=60°+30°=90°，
在△EHF和△DAF中，
，
∴△EHF≌△DAF （AAS）
∴EF=DF．
点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．
四、解答题：（每题8分，共16分）
25．如图，直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y= （k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．
（1）求k的值．
（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．
（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．
（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．
（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．
解答： 解：（1）设A点的坐标为（4，λ）；
由题意得： ，解得：k=8，
即k的值=8．
（2）如图，设E点的坐标为E（m，n）．
则n= m，即DE= m；而OD=m，
∴S= OD•DE= m× m= ，
即S关于m的函数解析式是S= ．
（3）当S=1时， =1，解得m=2或﹣2（舍去），
∵点C在函数y= 的图象上，
∴CD= =4；由（1）知：
OB=4，AB=2；BD=4﹣2=2；
∴ =6，
，
=4；
∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD﹣S△AOB
=6+4﹣4=6．
点评： 该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．
26．如图，正方形ABCD的边长为4厘米，（对角线BD平分∠ABC）动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．联结AQ，交BD于点E．设点P运动时间为t秒．
（1）用t表示线段PB的长；
（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BEP和∠BEQ相等；
（3）当t为何值时，P、Q之间的距离为2 cm．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）由正方形的性质和已知条件即可得出结果；
（2）由正方形的性质得出∠PBE=∠QBE，由AAS证明△BEP≌△BEQ，得出对应边相等BP=BQ，得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤2时；②当2＜t＜4时；由勾股定理得出方程，解方程即可．
解答： 解：（1）PB=AB﹣AP，
∵AB=4，AP=1×t=t，
∴PB=4﹣t；
（2）t= 时，∠BEP和∠BEQ相等；理由如下：
∵四边形ABCD正方形，
∴对角线BD平分∠ABC，
∴∠PBE=∠QBE，
当∠BEP=∠BEQ时，
在△BEP与△BEQ中， ，
∴△BEP≌△BEQ（AAS），
∴BP=BQ，
即：4﹣t=2t，
解得：t= ；
（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤2时；（即当P点在AB上，Q点在BC上运动时），
连接PQ，如图1所示：
根据勾股定理得： ，
即（4﹣t）2+（2t）2=（2 ）2，
解得：t=2或t=﹣ （负值舍去）；
②当2＜t＜4时，（即当P点在AB上，Q点在CD上运动时），
作PM⊥CD于M，
如图2所示：
则PM=BC=4，CM=BP=4﹣t，
∴MQ=2t﹣4﹣（4﹣t）=3t﹣8，
根据勾股定理得：MQ2+PM2=PQ2，
即 ，
解得t= 或t=2（舍去）；
综上述：当t=2或 时；PQ之间的距离为2 cm．
点评： 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据勾股定理得出方程，解方程才能得出结果．
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