Question

第一换元法【解题方法及提分突破训练:换元法专题】

Answer 1

解题方法及提分突破训练：换元法专题

一．真题链接

1. （2011•恩施州）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（ ）

A ．x1=1，x2=3 B．x1=-2，x2=3C．x1=-3，x2=-1 D．x1=-1，x2=-2

2．（2005•温州）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（ ）

A ．y2+y-6=0 B．y2-y-6=0 C．y2-y+6=0 D．y2+y+6=0

3. （2005•兰州）已知实数x 满足

A ．1或-2 B．-1或2 C．1 D．-2

4．已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（ ）

的值是（ ）

二．名词释义

概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

经验：换元法，可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明.

详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。

三．典题事例

1. 整体换元

22例1 分解因式：(a +3a -2)(a +3a +4) -16.

2 解：设a +3a -2=m ，则

原式

=m (m +6) -16=m 2+6m -16=(m +8)(m -2) =(a 2+3a +6)(a 2+3a -4)

=(a 2+3a +6)(a +4)(a -1).

222评注：此题还可以设a +3a =m ，或a +3a +4=m ，或a +3a +1=m 。运用换元法分解

因式, 是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换, 从而使原多项式的结构简化, 进而便于分解因式.

2．双换元

2 例2 分解因式：(b -c ) -4(c -a )(a -b ).

解：设c -a =p , a -b =q ，两式相加，则b -c =-(p +q ).

2222原式=[-(p +q )]-4pq =(p -q ) =[(c -a ) -(a -b )]=(b +c -2a ) .

⎧x +y x -y ⎪6+10=3,

⎨x +y x -y ⎪-=-1. 610⎩例3 解方程组 x +y x -y =m =n 610解：设，.

⎧m +n =3, ⎧m =1, ⎨m -n =1. ⎨n =2. ⎩原方程组可化为解得⎩ ⎧x +y ⎪6=1,

⎨x -y x +y =6, ⎧x =13, ⎪=2. ⎧⎨y =-7. ⎨x -y =-20. 10⎩⎩∴即解得⎩

⎧x =13, ⎨y =-7. ∴原方程组的解为⎩

而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元) 分别代换原多项式中的代数式，

3. 均值换元

⎧2x +3y =12, (1) ⎨7x -17y =97.(2) 例4 解方程组⎩

解：由①可设2x =6+6t ，3y =6-6t ，

即x =3+3t ，y =2-2t ，代入②，得

7(3+3t ) -17(2-2t ) =97.

∴t =2.

∴x =3+3⨯2=9, y =2-2⨯2=-2.

⎧x =9, ⎨y =-2. ∴原方程组的解为⎩

说明：本题若按常规设法，可设2x =6+t ，3y =6-t ，此时x =3+t t y =2-2，3﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设2x =6+6t ，3y =6-6t ，此时x =3+3t ，y =2-2t ，没有出现分类，使运算变得简捷.

换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。

4. 系数对称方程换元

例5

元：

5. 倒数换元 可解出方程。

432 例6 分解因式a +7a +14a +7a +1.

71⎫⎛=a 2 a 2+7a +14++2⎪a a ⎭ ⎝ 解：原式

⎡⎛⎤1⎫1⎫⎛=a 2⎢ a 2+2⎪+7 a +⎪+14⎥a ⎭a ⎭⎝⎣⎝⎦

1⎛⎫=a 2[(m 2-2) +7m +14] 设a +=m ⎪a ⎝⎭

22 =a (m +7m +12)

=a 2(m +3)(m +4)

11⎛⎫⎛⎫=a 2 a ++3⎪ a ++4⎪a a ⎝⎭⎝⎭

22 =(a +3a +1)(a +4a +1).

四．巩固强化：

1. 分解因式：(a +1)(a +3)(a +5)(a +7) +15.

2. 分解因式:(m +n ) -2(1+m +n ) -1.

3. 解方程： 2x +2227-7x ++2=0； 2x x

224. 解方程：3(x -2) -2x -4x +7+1=0.

5.. 解方程:(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) =3.

⎧⎪x +y =18, 6. 解方程组:⎨ ⎪⎩x -3-y +2=3.

7. 计算:

[1**********]1(++ +)(1+++ +) -(1+++ +)(++ ) [***********]232005

⎧x +1y +2⎪3-4=0, (1)

8. 解方程组⎨ x -3y -31⎪-=.(2) 312⎩4

⎧x +y x -y ⎪6+10=3,

9. 解方程组⎨ x +y x -y ⎪-=-1. 10⎩6

10. 解方程组

11. 解方程组⎧⎨

3⎧4+=10⎪⎪3x -2y 2x -5y ⎨52⎪-=1⎪⎩3x -2y 2x -5y 2x +3y =12, (1) ⎩7x -17y =97.(2)

12.

13

五．参考答案

真题链接答案：

1. 解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，

设y=2x+5，

方程可以变为 y2-4y+3=0，

∴y1=1，y2=3，

当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；

当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，

所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1．

故选D ．

2. 解：把x2+x整体代换为y ，

y2+y=6，

即y2+y-6=0．

故选A ．

3.

4. 解：设x2+y2=t．则由原方程，得t2-t-12=0，

∴（t+3）（t-4）=0，

∴t+3=0或t-4=0，

解得，t=-3或t=4；

又∵t ≥0，

∴t=4．故选B ．

巩固强化答案：

221. 解：原式=[(a +1)(a +7)][(a +3)(a +5)]+15=(a +8a +7)(a +8a +15) +15.

1m =[(a 2+8a +7) +(a 2+8a +15)]=a 2+8a +11. 2 取“均值”，设

22 原式=(m -4)(m +4) +15=m -16+15=m -1=(m +1)(m -1)

222 =(a +8a +12)(a +8a +10) =(a +2)(a +6)(a +8a +10).

2. 解:设m +n =y , 则

原式=y -2(1+y ) -1

=y -2-2y -1

=y -2y -3

=(y -3)(y +1)

=(m +n -3)(m +n +1) .

3. 解: 原方程可化为: 2⎢(x -) +2⎥-7(x -) +2=0 . ① x x

设x -

2222⎡⎣12⎤⎦11=y , 则方程①化为: x 2y -7y +6=0 . ②

解方程②, 得 y 1=2, y 2=3. 2

当y 1=2时， x -1=2. x

2. 解得, x =1±

当y 2=3时, 2

13 x -=. x 2

1 解得, x =-或x =2. 2

12, x 2=1-2, x 3=-, x 4=2都是原方程的解. 2

1 所以, 原方程的解为x 1=1+2, x 2=1-2, x 3=-, x 4=2. 2 经检验, 知x 1=1+

4. 解：原方程可化为:

22 3(x -4x +7) -2x -4x +7-8=0 . ①

设x -4x +7=y , 则方程①化为: 2

3y -2y -8=0. ②

解方程②, 得 y 1=2, y 2=-

当y 1=2时, x -4x +7=2.

解得, x 1=1, x 2=3.

当y 2=-

2224. 34时, 34. 3 x -4x +7=-

此方程无解.

经检验, 知x 1=1, x 2=3都是原方程的解. 所以, 原方程的解为x 1=1, x 2=3.

5. 解:原方程可化为:

(x +1)(x +4) (x +2)(x +3) =3.

即(x +5x +4)(x +5x +6) =3. ①

设x +5x +5=y , 则方程①化为:

(y +1)(y -1) =3.

解得, y =±2.

当y =2时,

x +5x +5=2. ②

解方程②, 得 x =2222[][]-5±. 2

当y =-2时,

x +5x +5=-2. ③

2

∆

∴方程③无实数根.

因此, 原方程的根为x 1=

6. 解:设x -3=u , -5+-5-, x 2=. 22y +2=v , 则原方程组可化为:

⎧u 2+v 2=17, (1) ⎨ (2) u -v =3. ⎩

由(2)得, u =3+v . (3)

将(3)代入(1),得

(3+v ) +v =17.

解得, v 1=1, v 2=-4(

∴u 22y +2不能为负, 舍去). =4.

⎧⎪x -3=4, 得⎨

⎪⎩y +2=1.

解得, ⎨⎧x =19, y =-1. ⎩

⎧x =19 经检验, 知⎨是原方程组的解. y =-1⎩

所以, 原方程组的解为⎨

7. 解:设1+⎧x =19. ⎩y =-1111++ +=x , 则 232006

11 原式=(x -1)(x -) -x (x -1-) 20062006

x 1x 2 =x - -x +-x 2+x +[1**********]6

1 =. 2006

x +1y +28. 解：由①，得. =34

x +1y +2设==k ，则x =3k -1，y =4k -2， 34

代入②，得3k -1-3

4-4k -2-3

3=1

12.

∴k =1.

∴x =3-1=2，y =4-2=2. ∴原方程组的解是⎧⎨x =2,

⎩y =2.

9. 解：设x +y

6=m ，x -y

10=n .

原方程组可化为⎧⎨m

⎩m +-n n ==13, . 解得⎧⎨m =1,

⎩n =2. ⎧

∴⎪x +y

⎨6=1, 即⎧

⎪x -y ⎨x x +-y y ==6-, 20. 解得⎧⎨x =13, ⎩10=2. ⎩⎩y =-7. ∴原方程组的解为⎧⎨x =13,

⎩y =-7.

10. 解：设 a =1

3x -2y b =1

2x -5y

原方程组可化为 ⎧⎨⎩ 45 a a +3b =10- 2 b = 1 解得 ⎧ ⎧⎪3x -2y =1⎪x =4

11,

∴⎨⎪ 2 x - 5 y = 1⎨

，解得 ⎪⎩y =1

22.

⎩2

11. 解：由①可设2x =6+6t ，3y =6-6t ，即x =3+3t ，y =2-2t ，代入②，得 7(3+3t ) -17(2-2t ) =97. ∴t =2.

∴x =3+3⨯2=9, y =2-2⨯2=-2.

⎧⎨a =1⎩b =2

x =9, ∴原方程组的解为⎧⎨y =-2. ⎩

12.

求出方程的解，并检验。

13.解：方程变形为

方程可通过互为倒数关系换元：