Question

高等数学，求定积分的最小值，如图

Answer 1

可以画图来辅助分析。原积分是求y1=ax+b与y2=ln x之间的面积。
显然，y1与y2相切时，积分较小。
y1-ln x0=1/x0 (x-x0), (x0∈[1,3])
g(x0)=∫(x=1→3)(x/x0 +ln x0-1-ln x)dx
=4/x0+2(ln x0-1)-(3ln3-2)
g'=2(1/x0-2/x0²)
x0∈(2,3]时，g'>0,g单调增加
x0∈[1,2)时，g'＜0,g单调减小
因此x0=2时积分最小。a=1/2,b=ln2-1
此时，积分等于2+2ln2-3ln3

Answer 2

　　解：分享一种解法。∵f(1)=a+b，f(3)=3a+b-ln3，要在x∈[1,3]上，f(x)≥0，∴a+b≥0，3a+b-ln3≥0。
　　而f'(x)=a-1/x，如果有f'(x)≥0，即a≥1/x，保证f(x)在极值点x=1/a后，单调增即可。∴x∈[1,3]时，a≥1，b≥-a。
　　又，∫(1,3)f(x)dx=[(1/2)ax^2+bx-(xlnx-x)]丨(x=1,3)=4a+2b+2-3ln3，是关于a，b的线性增函数，∴当a、b取最小值时，∫(1,3)f(x)dx取最小值。∴a=1，b=-1，∫(1,3)f(x)dx最小值-3ln3。供参考。