什么样的函数不能积分呢？
常见在不定积分中不能积分的函数有sinx/x、e^(x^2)、1/lnx、sinsinx、ln(1+tanx)等。
例如：求sinx/x的不定积分。
∫sinxdx/x
=-∫dcosx/x=-cosx/x+∫cosxd(1/x)
=-cosx/x+∫dsinx/x^2
=-cosx/x+sinx/x^2+2∫sinxdx/x^3
=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+2∫cosxd(1/x^3)
=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4+24∫sinxdx/x^5
=-cosx/x+sinx/x^2-2cosx/x^3+6sinx/x^4-24cosx/x^5+...+(2n-1)!*(-1)^(2n-1) *cosx/x^(2n-1)+(2n)!sinx/x^(2n)
往下越算越麻烦，而且越来越算不出来。因此像sinx/x这类函数，就计算不出来积分。
注意：
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。
比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
扩展资料：
其他定义：
除了黎曼积分和勒贝格积分以外，还有若干不同的积分定义，适用于不同种类的函数。达布积分：等价于黎曼积分的一种定义，比黎曼积分更加简单，可用来帮助定义黎曼积分。
勒贝斯蒂尔杰斯积分：勒贝格积分的推广，推广方式类似于黎曼－斯蒂尔杰斯积分，用有界变差函数g代替测度哈尔积分：
由阿尔弗雷德·哈尔于1933年引入，用来处理局部紧拓扑群上的可测函数的积分，参见哈尔测度。伊藤积分：由伊藤清于二十世纪五十年代引入，用于计算包含随机过程如维纳过程或半鞅的函数的积分。
参考资料来源：百度百科-积分
1. 没有原函数的初等函数：有些初等函数，例如 $e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$ 等，都是无法书写出原函数的。
2. 级数函数：级数函数就是一系列数列的和的形式，例如 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 可以得到 $\frac{\pi^2}{6}$ 的结果，但是并不存在一个单独的函数 $f(x)$，满足 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=f(x)$。
3. 特殊函数：安定函数、椭圆函数、贝塞尔函数等是某些物理和数学问题中的一些特殊函数，它们的积分需要特别的技巧和方法。
4. 明显不连续的函数：例如分段函数，在分段点处积分时需要特别留意。
当然，这些情况都是比较特殊的，大多数函数都可以用一些常用方法或者数值积分来得到积分的近似值。
