Question

设x*是f(x)=0的m(m≥2)重根，证明牛顿法仅为线性收敛．

Answer 1

【答案】：设x^*是f(x)=0的m(m≥2)重根，则f(x)可以表示为 f(x)=(x-x^*)^mh(x)，h(x^*)≠0，
于是f'(x)=m(x-x^*)^m-1h(x)+(x-x^*)^mh'(x)
=(x-x^*)^m-1[mh(x)+(x-x^*)h'(x)]．
又由牛顿迭代格式(0,1)，(k=0，1，2，…)，得f(x)=k+1 (k=0，1，2，…）
而当m≥2时，有f(x)=0，故牛顿法对重根是线性收敛的．