Question

微积分难吗？如何学习微积分？

Answer 1

如何学好微积分

初等数学和高等数学的不同。初等数学主要研究离散的量，而高
等数学则是连续的量。正因为如此，高等数学才很难学习。在此，而
高等数学中微积分是其他数学知识的基础，故结合诸多高校学习微积
分以及我本人亲身学习，在此浅谈下微积分学习的方法。

首先我们应该肯定微积分的伟大，微积分的创立，与其说是数学
史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的
重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。它的出现并
不偶然，它有一个漫长的成长过程。早在古希腊时代，阿基米德等人
的著作就已含有积分学的萌芽。以后经过一千多年的沉寂，欧洲在文
艺复兴以后对阿基米德的学说重新掀起研究的热潮，涌现出许多先驱
者。
而微积分真正的确立是在
17
世纪，
从笛卡儿的解析几何开始，
接
着是微积分的创建，它将数学的历史带入一个新的时期——变量数学
时期。欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数
学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分在数学
发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了
当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，
如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。

微积分解决了一些重要问题：①求瞬时速度②求曲线的切线③求
函数的最值④求曲线长。这些问题对天文学、物理学等学科的发展有
重要的促进作用。因为它的重要也赋予了其难学的特性，是大一理科
学子头疼的主要数学问题。

预习十分重要。预习并不是自学，而是浏览式地看书，找到书中
的重点难点，以便“集中式的听课”
。

如果时间不多，你可以浏览一
下教师将要将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定
程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏
览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一
下自己的理解与教师讲解的有什么区别，
有哪些问题需要与教师讨论。
如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得
比较好的效果。不要急于做题，而要先对教材进行深入的思考。做题
时不要轻易去翻答案，而是应该反复思考、与同学讨论。一道题做不
出来，比做出来的收获大。学习的信心也十分重要。提高信心，培养
良好的心理素质，勇于克服各种困难；不要因为一时的没有兴趣而放
弃，
兴趣不是与生俱来的，
而是靠后天慢慢培养的。
良好的学习传统，
刻苦勤奋，实现自己人生的辉煌，这才是当代大学生应有的素质。

上课要就预习中的难点重点集中听讲，针对重点难点可向老师直
接提问，在大学的课堂上老师更期望学生能“打断”他的讲课，老师
更希望与学生好好交流探讨课堂知识，课堂上提问既能得到老师特别
的讲解也能就题论题。课堂上要勇于发问。上课时，如果你有任何疑
问，应该立即发问。因为你的问题，有可能正好就是其他同学不敢问
的问题；也有可能是在座所有的人
(
包括老师
)
都还没考虑到的问题。
课堂上发问，不仅能对自己也是对全班同学的莫大帮助。一个活泼生
动的学习环境，不单是只靠老师来营造，也需要同学们的参与，老师
们都很希望也很重视同学们在课堂上能够有更主动的表现。相信这样

互动的学习过程，一定能让你在学习微积分上有更多的收获。

微积分学习中会遇到许多积分公式，记住并熟练的运用一些积分
公式可减缩做题时间并对今后的学习有很大的帮助作用，而积分公式
多而又繁琐，需要特别的记忆。多次推导公式提高对公式的理解，这
也是变相的熟练运用其他公式，数学学习中公式的推导需要其他公式
的辅助，基本积分公式对复杂的积分公式具有很大的推导作用

微积分的学习必须先通过大量的习题锻炼手感。初学者做微积分
习题，
一是要多
“练”
，
吉米多维奇习题集是不错的选择，
此习题集中
了诸多类型的积分习题，从中可看到积分习题中的所有类型，并且有
详细的解析过程，是不可或缺的习题集。
《微积分学教程》
（菲赫金哥
尔茨著）
，第一卷两本，第二、三卷各三本，共八本。例如，定积分
sin
x
/
x
（方波在频域里形式）是如何计算出来的，给出了好几种经
典、历史的方法。二是要多“看”
（看有一定技巧性的题解，从中学习
做题方法）
。从习题中看门道，看解题方法，并总结归纳

。学数学唯
一的好方法是由「做」中学。由于解题时，你必须把学过的理论再重
新思考过一次，
这个过程会让你学到如何从不同的角度来看这些理论，
也会帮助你发现先前所忽略的东西。所以，尽可能多试着先由自己来
解题。和其他同学或老师一起讨论课程内容。每个人都有自己习惯的
看事情方式，往往一不小心就会落入盲点而不自知。所以，即便你认
为你已经了解课程内容，建议你还是应该多和其他同学或是老师共同
讨论；这样一来，你才能察觉你忽略的小细节，或者一些你根本没有
考虑到的层面。

学习后的复习是不可或缺的，复习不是简单的重复，应当用自己
的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍
书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再
对照教材或笔记。另外，复习时的思路不应当教师讲课或者教科书的
翻版，一个可供参考的方法是采用倒叙式。从定理的结论倒推，为了
得到定理的结论，是怎样进行推理的，定理的条件用在何处。这样倒
臵思维方式，更加接近这个定理的发现的思路，是一种创造性的思维
活动。

如何复习概念？首先对于重要的定义，要大家能够用自己的语言
正确地进行复述。这是理解和应用它们的前提条件。其次，尽可能用
具体形象的例子解释或者表现抽象概念，你能举出越多的实际例子说
明某个概念，那么你对这个概念的理解就越加生动和深入。

学习微积分后需要运用到后面的定积分和不定积分中，真正的做
到学以致用。学习时我们要考虑学到“面面俱到”学后好明白为什么
要学好微积分，对我们的意义是什么？

数学训练逻辑思考！逻辑思考的能力不管它是不是与生俱有的，
但很确定的一点是，
它是可以被训练的，
方法之一就是透过学习数学。
数学解题会教你如何接近问题、
学到如何抽丝剥茧地看出问题的关键、
问出适切的问题、从不同的角度来思考问题等等。逻辑思考的能力比
数学有用太多，例如它对学新的语言、组织与计画等也很有帮助。

总而言之，每位学生都应该而且可以为微积分找到学习动机。
你不必认同“微积分是人类最伟大的成就之一，这个理论之美让人目

眩神迷”但至少把微积分看作是掌握学科的重要工具，而且是教你学
习如何有系统地进攻与解决问题的重要理论。

Answer 2

高中的话，微积分都是些皮毛，很容易的。
大学的比较难。