Question

(2)函数y=2^((x-1)/(x+1) 的定义域是值域(0？

Answer 1

首先考虑函数 $y=2^{(x-1)/(x+1)}$ 的定义域。因为 $2^{(x-1)/(x+1)}$ 是指数函数，指数函数的底数必须是正实数且不等于 1，因此 $x+1$ 不能等于 0，即 $x\neq -1$。又因为指数函数的指数可以是任意实数，所以 $(x-1)/(x+1)$ 可以取任意实数值。但是，当 $(x-1)/(x+1)$ 取负实数时，$y=2^{(x-1)/(x+1)}$ 的值小于 1，因此 $y$ 的定义域还要满足 $y>0$，即 $2^{(x-1)/(x+1)}>0$。因为 $2^{(x-1)/(x+1)}$ 的值始终是正实数，所以这个条件等价于 $x\neq -1$。
综上所述，函数 $y=2^{(x-1)/(x+1)}$ 的定义域为 $(-\infty,-1)\cup (-1,\infty)$，即除了 $x=-1$ 外的所有实数。
接下来考虑函数 $y=2^{(x-1)/(x+1)}$ 的值域。因为 $2^{(x-1)/(x+1)}>0$，所以 $y>0$。又因为当 $x$ 趋近于正无穷大时，$(x-1)/(x+1)$ 趋近于 1，$2^{(x-1)/(x+1)}$ 趋近于 $2$，因此 $y$ 的上界是 $2$。当 $x$ 趋近于负无穷大时，$(x-1)/(x+1)$ 趋近于 $-1$，$2^{(x-1)/(x+1)}$ 趋近于 $2^{-1}=1/2$，因此 $y$ 的下界是 $1/2$。因此，函数 $y=2^{(x-1)/(x+1)}$ 的值域为 $(1/2, 2)$。
综上所述，函数 $y=2^{(x-1)/(x+1)}$ 的定义域是 $(-\infty,-1)\cup (-1,\infty)$，值域是 $(1/2,2)$。