Question

用非退化线性替换化下列二次型为标准型并利用矩阵验算所得结果这样的题怎么写例如34题

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Answer 1

先写二次型相应的对称矩阵，然后使用合同变换，变成标准型，即可。

例如：第3题

矩阵A=

1    -1    1    

-1    -3    -3    

1    -3    0    

下面使用初等变换，将其化为标准型，对角阵

1    -1    1    

-1    -3    -3    

1    -3    0    

1    0    0    

0    1    0    

0    0    1    

第2列,第3列, 加上第1列×1,-1

1    0    0    

-1    -4    -2    

1    -2    -1    

1    1    -1    

0    1    0    

0    0    1    

第2行,第3行, 加上第1行×1,-1

1    0    0    

0    -4    -2    

0    -2    -1    

1    1    -1    

0    1    0    

0    0    1    

第3列, 加上第2列×-1/2

1    0    0    

0    -4    0    

0    -2    0    

1    1    -3/2    

0    1    -1/2    

0    0    1    

第3行, 加上第2行×-1/2

1    0    0    

0    -4    0    

0    0    0    

1    1    -3/2    

0    1    -1/2    

0    0    1    

得到矩阵P

1    1    -3/2    

0    1    -1/2    

0    0    1    

因此可以作非退化线性替换

X=PY

即

x1=y1+y2-3y3/2

x2=y2-y3/2

x3=y3

得到

(y1+y2-3y3/2)(y1+y2-3y3/2)

-3(y2-y3/2)(y2-y3/2)

+2(y1+y2-3y3/2)(3y3/2 - y2)

-6(y2-y3/2)y3

=y1²-4y2²

追问

谢谢你