Question

实心圆截面悬臂梁,其横截面直接D=200mm，若梁的许用弯曲正应力＝20mpa，梁弯矩图和正应力？

Answer 1

根据悬臂梁的理论，悬臂梁的弯矩和弯曲正应力分别为：

弯矩：
M = FL

其中，F为悬挂在梁端的力，L为悬臂长度。

弯曲正应力：
σ = (My) / I

其中，M为弯矩，y为距离中性轴的最大距离，I为截面惯性矩。

对于实心圆截面，惯性矩的公式为：

I = πD^4 / 64

其中，D为圆的直径。

将给定的数据代入公式中，得到以下计算结果：

• 惯性矩
  I = πD^4 / 64 = π(200mm)^4 / 64 = 3.183 × 10^7 mm^4

• 弯矩图
  由于题目没有给出外力大小和方向，因此无法计算弯矩图。

• 弯曲正应力
  将所给的许用弯曲正应力代入弯曲正应力公式中，解出弯矩下限：

σ = (My) / I
20 MPa = (M * 100 mm) / 3.183 × 10^7 mm^4
M = 636.6 Nm

因此，在弯矩为636.6 Nm时，悬臂梁的弯曲正应力达到许用弯曲正应力的上限。

Answer 2

对于实心圆截面悬臂梁，其弯矩图和正应力分布可以通过以下步骤计算得出：
1. 计算悬臂梁所受的弯矩M(x)。由于悬臂梁只有一个支点，所以在支点处的弯矩为零。在悬臂梁的自由端，弯矩为M，根据悬臂梁的基本方程可以得到：
M(x) = M - Fx
其中，F为悬臂梁的端点处的剪力，x为距离自由端的距离。
2. 计算悬臂梁截面的惯性矩I和截面模量W。对于实心圆截面，有：
I = πD^4 / 64
W = πD^3 / 32
其中，D为圆截面的直径。
3. 计算悬臂梁截面的最大正应力σmax。根据悬臂梁的弯曲应力公式，有：
σmax = M(x) * y / I
其中，y为距离圆心的距离，对于圆形截面，y等于半径R的值。
4. 判断所计算出的最大正应力σmax是否小于许用弯曲正应力σallow。如果小于，则所计算出的弯矩图和正应力分布是可接受的，否则需要重新设计或采取其他措施。
根据题目中的数据，可以计算出悬臂梁的惯性矩和截面模量：
I = πD^4 / 64 = π×(200mm)^4 / 64 = 1.256×10^8 mm^4
W = πD^3 / 32 = π×(200mm)^3 / 32 = 1.963×10^6 mm^3
由于悬臂梁的许用弯曲正应力为20 MPa，所以可以得到最大允许弯矩：
σallow = Mmax * y / I = σmax
Mmax = σallow * I / y = 20 MPa * 1.256×10^8 mm^4 / 100 mm = 2.512×10^7 N·mm
因为悬臂梁的支点处弯矩为零，所以在悬臂梁自由端处，弯矩为Mmax = 2.512×10^7 N·mm。根据弯矩图的定义，可以得到悬臂梁在不同位置的弯矩：
M(x) = M - Fx = 2.512×10^7 - Fx
对于圆形截面，最大正应力出现在截面最外侧，即圆的半径处。因此，最大正应力为：
σmax = M(x) * y / I = (2.512×10^7 - Fx) * R / (πD^4 / 64)
又因为悬臂梁在自由端的剪力等于弯矩除以悬臂梁的长度，即：
F = Mmax / L = 2.512×10^7 N·mm / 1000 mm = 25120 N
所以最大正应力为：
σmax = (2.512×10^7 - 25120x) * 100 / (π×(200 mm)^4 / 64) = (6280000 - 31.416x) / mm^2