Question

余弦定理推导

Answer 1

余弦定理推导：

设 △ABC\triangle ABC 中， 。AB→=c,BC→=a,AC→=b。\vec{AB}=c,\vec{BC}=a, \vec{AC}=b。 过 BB 点作 ACAC 的垂线，垂足为 DD ，如果 DD 在 ACAC 内部，则 BDBD 的长度为 asin⁡Ca\sin C ， DCDC 的长度为 acos⁡Ca\cos C ， ADAD 的长度为 b−acos⁡Cb-a \cos C 。

根据勾股定理：

c2=(asin⁡C)2+(b−acos⁡C)2c^2=(a\sin C)^2+(b-a\cos C)^2。

c2=a2sin2⁡C+b2−2abcos⁡C+a2cos2⁡Cc^2=a^2\sin ^2C+b^2-2ab\cos C+a^2\cos^2 C。

c2=a2(sin2⁡C+cos2⁡C)+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2(\sin ^2C+\cos^2C)+b^2-2ab\cos C。

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C。

如果 DD 在 ACAC 的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

余弦定理推导，因为向量AB=向量CB-向量CA。
两边平方得AB模^2=cB^2+CA^2-2CB点CA=CB^2+CA^2-2CB*BAcos<CB,CA>。
即c^2=a^2+b^2-2abcosC。
正弦定理推导。
S△ABC=1/2*acsinB=1/2*absinC=1/2*bcsinA。
得*acsinB=absinC=bcsinA。
同除abc得sinB/b=sinC/c=sinA/a。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC。