Question

弦切角定理的证明方法

Answer 1

弦切角定理的证明方法如下：

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧。求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：

分三种情况：圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆，∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。圆心O在∠BAC的内部。过A作直径AD交⊙O于D，在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径。

以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。

注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A，B不重合的点。