Question

y=ln（1-x²的二阶导数？

ln(1-x^2)的二阶导数是什么？

Answer 1

首先，对 $y=\ln(1-x^2)$ 求一阶导数：
$$y' = \frac{d}{dx} \ln(1-x^2) = \frac{1}{1-x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1-x^2}$$
然后，对 $y'$ 再求一阶导数：
$$y'' = \frac{d}{dx} \left(\frac{-2x}{1-x^2}\right)$$
为了求解这个二阶导数，我们需要运用到「商法则」以及「链式法则」。
首先运用商法则，得到：
$$y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{-2x}{1-x^2} \right) = \frac{(1-x^2) \frac{d}{dx}(-2x) - (-2x) \frac{d}{dx}(1-x^2)}{(1-x^2)^2}$$
然后对上式中的 $\frac{d}{dx}(-2x)$ 和 $\frac{d}{dx}(1-x^2)$ 进行求导，得到：
$$\frac{d}{dx}(-2x) = -2, \quad \frac{d}{dx}(1-x^2) = -2x$$
将上述结果代入原式中，得到：
$$y'' = \frac{(1-x^2)(-2) - (-2x)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{2(3x^2-1)}{(1-x^2)^2}$$
因此，$y=\ln(1-x^2)$ 的二阶导数为 $y''=\frac{2(3x^2-1)}{(1-x^2)^2}$。