Question

高等数学 曲线积分 ∮L ydx -xdy ,其中L为星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3(a

高等数学 曲线积分 ∮L ydx -xdy ,其中L为星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3(a>0)的一周,取逆时针方向。

Answer 1

星形线 x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3) (a>0)
即 x = a(cost)^3, y = a(sint)^3

用格林公式得
∮<L> ydx-xdy = ∫∫ <D>(-1-1)dxdy = -2 ∫∫ <D>dxdy = -2 ∫<0, a> ydx
= -2*4 ∫<下π/2, 上0> a(sint)^3 *3a(cost)^2(-sint)dt
= -2*(12)a^2 ∫<下0, 上π/2> (sint)^4(cost)^2 dt
= -2*(12)a^2 ∫<下0, 上π/2> [(sint)^4-(sint)^6] dt
= -2*(12)a^2[(3/4)(1/2)(π/2) - (5/6)(3/4)(1/2)(π/2)]
= -2*(12)a^2(π/32) = -2*(3/8)πa^2 = -(3/4)πa^2

追问

谢谢