Question

一道数学题

在三角形ABC中,AB=AC角BAC=90度.直角EPF的顶点P是BC的中点,两边P,E分别交AB于点EF. 当角APE在三角形ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合).求证:(1) AE=CF(2) 角APE=角CPF(3)三角形EPF是等腰直角三角形(5) S四边形AEPF=二分之一S三角形ABC

Answer 1

证明：
连接PA
①
因为AB＝AC，∠BAC＝90，P是斜边BC的中点
所以根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“三线合一”定理得：
PA＝PB＝PC，AP⊥BC，∠B＝∠C＝∠PAB＝∠PAC＝45
因为∠EPF是直角
所以∠APE＋∠APF＝90
而∠CPF＋∠APF＝90
所以∠APE＝∠CPF
所以△PAE≌△PCF（ASA）
所以AE＝CF
②
∠APE＝∠CPF在上题中已经证明
③
因为△PAE≌△PCF
所以PE＝PF
又因为∠EPF是直角
所以△EPF是等腰直角三角形
④
因为△PAE≌△PCF
所以S△PAE＝S△PCF
所以S四边形AEPF
＝S△PAE＋S△PAF
＝S△PCF＋S△PAF
＝S△PAC
因为PC＝BC/2
所以S△PAC＝S△ABC/2

江苏吴云超祝你学习进步

Answer 2

解:(1)由题意得:三角形ABC是等腰直角三角形.
因为AP是BC边上中线
所以AB平分角BAC,AB垂直于BC
所以角PAC=角PAB=角ABC=45度
所以PB=PA
因为AB垂直于BC
所以角BPE+角EPA=90度
因为角EPF是直角
所以角EPA+角APF=90度
所以角BPE=角APF
因为角PAC=角ABC
PB=PA
角BPE=角APF
所以三角形BPE全等于三角形APF
所以BE=AF
因为AB=AC
所以AB-BE=AC-AF
即AE=CF
(2)因为角BPE=角APF
又因为角APB=角APC
所以角APB-角BPE=角APC-角APF
即角APE=角CPF
(3)因为三角形BPE全等于三角形APF
所以PE=PF
所以三角形EPF是等腰直角三角形
(5)因为三角形BPE全等于三角形APF
所以同理可得三角形AEP全等于三角形FPC
又因为S三角形ABP=S三角形BPE+S三角形AEP
S三角形APC=S三角形APF =S三角形FPC
所以S三角形AEP+S三角形APF =S三角形BPE+S三角形FPC
即S四边形AEPF=二分之一S三角形ABC

Answer 3

先证（2），再证（1）
（2）
因为 三角形ABC为等腰直角
所以 角APC＝90，又因为角EPF为直角
所以 角APE+角APF=角CPF+角APE=90
所以 角APE=角CPF
得证
（1）
因为 三角形ABC为等腰直角，P为BC中点
所以 角EAP=角ACB＝45，AP=CP
又由上面证得角APE=角CPF
所以 三角形AEP与三角形CFP全等
所以 AE=CF
得证
（3）
因为 三角形AEP与三角形CFP全等
所以 EP=FP
又因为 角EPF是直角
所以,三角形EPF为等腰直角
怎么没有第四小问？～
（5）
因为三角形AEP全等于三角形CFP
所以 S三角形AEP=S三角形CFP
同理，三角形AFP全等于三角形BEP，
所以 S三角形AFP=S三角形BEP
因为 S四边形AEPF=S三角形AEP+S三角形AFP,S三角形ABC=S三角形AEP+S三角形CFP+S三角形AFP+S三角形BEP
所以 S四边形AEPF=二分之一S三角形ABC

Answer 4

证明：
连接PA
①
因为AB＝AC，∠BAC＝90，P是斜边BC的中点
所以根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“三线合一”定理得：
PA＝PB＝PC，AP⊥BC，∠B＝∠C＝∠PAB＝∠PAC＝45
因为∠EPF是直角
所以∠APE＋∠APF＝90
而∠CPF＋∠APF＝90
所以∠APE＝∠CPF
所以△PAE≌△PCF（ASA）
所以AE＝CF
②
∠APE＝∠CPF在上题中已经证明
③
因为△PAE≌△PCF
所以PE＝PF
又因为∠EPF是直角
所以△EPF是等腰直角三角形
④
因为△PAE≌△PCF
所以S△PAE＝S△PCF
所以S四边形AEPF
＝S△PAE＋S△PAF
＝S△PCF＋S△PAF
＝S△PAC
因为PC＝BC/2
所以S△PAC＝S△ABC/2

先证（2），再证（1）
（2）
因为 三角形ABC为等腰直角
所以 角APC＝90，又因为角EPF为直角
所以 角APE+角APF=角CPF+角APE=90
所以 角APE=角CPF
得证
（1）
因为 三角形ABC为等腰直角，P为BC中点
所以 角EAP=角ACB＝45，AP=CP
又由上面证得角APE=角CPF
所以 三角形AEP与三角形CFP全等
所以 AE=CF
得证
（3）
因为 三角形AEP与三角形CFP全等
所以 EP=FP
又因为 角EPF是直角
所以,三角形EPF为等腰直角
怎么没有第四小问？～
（5）
因为三角形AEP全等于三角形CFP
所以 S三角形AEP=S三角形CFP
同理，三角形AFP全等于三角形BEP，
所以 S三角形AFP=S三角形BEP
因为 S四边形AEPF=S三角形AEP+S三角形AFP,S三角形ABC=S三角形AEP+S三角形CFP+S三角形AFP+S三角形BEP
所以 S四边形AEPF=二分之一S三角形ABC

Answer 5

证明：
连接PA
①
因为AB＝AC，∠BAC＝90，P是斜边BC的中点
所以根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“三线合一”定理得：
PA＝PB＝PC，AP⊥BC，∠B＝∠C＝∠PAB＝∠PAC＝45
因为∠EPF是直角
所以∠APE＋∠APF＝90
而∠CPF＋∠APF＝90
所以∠APE＝∠CPF
所以△PAE≌△PCF（ASA）
所以AE＝CF
②
∠APE＝∠CPF在上题中已经证明
③
因为△PAE≌△PCF
所以PE＝PF
又因为∠EPF是直角
所以△EPF是等腰直角三角形
④
因为△PAE≌△PCF
所以S△PAE＝S△PCF
所以S四边形AEPF
＝S△PAE＋S△PAF
＝S△PCF＋S△PAF
＝S△PAC
因为PC＝BC/2
所以S△PAC＝S△ABC/2
本人祝你学习有成！
回答者： 痴ぁ酒ぉ剑 - 助理 二级 11-15 09:50
兄弟这也太简单了点哦！有时间在聊，我帮告诉你做，如何做好几何图形题！546164678 QQ 加时请说明原因哦！
回答者： rudolfyan - 助理 二级 11-15 11:16
证明：
连接PA
①
因为AB＝AC，∠BAC＝90，P是斜边BC的中点
所以根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“三线合一”定理得：
PA＝PB＝PC，AP⊥BC，∠B＝∠C＝∠PAB＝∠PAC＝45
因为∠EPF是直角
所以∠APE＋∠APF＝90
而∠CPF＋∠APF＝90
所以∠APE＝∠CPF
所以△PAE≌△PCF（ASA）
所以AE＝CF
②
∠APE＝∠CPF在上题中已经证明
③
因为△PAE≌△PCF
所以PE＝PF
又因为∠EPF是直角
所以△EPF是等腰直角三角形
④
因为△PAE≌△PCF
所以S△PAE＝S△PCF
所以S四边形AEPF
＝S△PAE＋S△PAF
＝S△PCF＋S△PAF
＝S△PAC
因为PC＝BC/2
所以S△PAC＝S△ABC/2