Question

求解以下两道高数题。





Answer 1

计算的题，
设x=t²，则dx=2tdt
原式=∫(1→+∞)2ln(1+1/t²)dt
=2t·ln(1+1/t²) |(1→+∞)
-∫(1→+∞)2t·1/(1+1/t²)·(-2/t³)dt
=-2ln2+∫(1→+∞)4/(1+t²)dt
=-2ln2+4arctant |(1→+∞)
=π-2ln2

【附注】有一个极限需要说明一下
lim(t→+∞)t·ln(1+1/t²)
=lim(t→+∞)t·1/t²
=lim(t→+∞)1/t
=0

判断的题，
0≤x^(3/2)·|f(x)|
=|sinx|/√x
≤1/√x
∵lim(x→+∞)1/√x=0
∴lim(x→+∞)x^(3/2)·|f(x)|=0
∴∫(1→+∞)|f(x)|dx收敛，
∴∫(1→+∞)f(x)dx绝对收敛
∴∫(1→+∞)f(x)dx收敛