Question

已知梯形ABCD,AD平行于BC DE垂直于CE, CD=AD+BC,求E为AB中点

Answer 1

设AB=a, AD=b, BC=c.

因为CD=AD+BC, 又因为AD // BC，所以三角形ADC和三角形BCD的高分别为b和c.

因为DE垂直于CE，所以三角形CED和三角形ADC相似，因此CE/CD=DE/b.

又因为AD平行于BC，所以三角形ADE和三角形BCE相似，因此DE/CE=AD/BC=b/c.

结合上述两式得到：CE/CD=b/c.

因为ABCD是梯形，所以CE=(AD+BC)/(a/2)=2(b+c)/a.

将CE代入上式得到：2(b+c)/(a+b+c)=b/c.

移项整理得：b=2c.

因此，AD=3c, BC=c.

又因为E是AB的中点，所以AE=EB=a/2.

设CE=x, 则ED=a/2-x.

因为三角形CED和三角形ADC相似，所以x/3c=(a/2-x)/b.

将b=2c代入上式得到：x=3a/8.

因此，CE=3a/4, ED=a/4，即证毕E是AB的中点。