Question

计算2×3×4＋3×4×5＋4×5×6＋…＋30×31×32的值。

Answer 1

【求解答案】2×3×4＋3×4×5＋4×5×6＋…＋30×31×32=245514

【求解思路】

1）、注意到，2和3和4的平均数是3，3和4和5的平均数是4，…，30和31和32的平均数是31，所以可以得到

2×3×4=(3-1)×3×(3+1)=(3²-1²)×3=3³-3

3×4×5=(4-1)×4×(4+1)=(4²-1²)×4=4³-4

…

30×31×32=(31-1)×31×(31+1)=(31²-1²)×31=31³-31

2）、3³+4³+5³+…+31³可以使用下列公式来计算。

计算时应注意，3³+4³+5³+…+31³的和，可以理解为1³+2³+3³+4³+5³+…+31³与3³+4³+5³+…+31³之差。

3）、3+4+5+…+31可以使用下列公式来计算。

计算时应注意，3+4+5+…+31的和，可以理解为1+2+3+4+5+…+31与3+4+5+…+31之差。

【计算过程】

【本题相关公式】

1、自然数和的等差级数。

该级数实际上，就是首项是1，末项是n，公差为1的等差数列。

2、自然数立方和的级数。

该级数可以用数学归纳法来证明该级数公式是成立的。

【证】（1）当n=1时，左边是1³=1，右边是[1/2×1×(1+1)]²=1²=1，等式是成立的。

（2）假设当n=k时，等式成立，即

两边都加上（k+1）³，得

所以，当n=k+1时，等式成立。

由（1）、（2）可知，对于任意自然数n，这个等式都成立。