Question

求函数f（x）=（根号下1-x^2 ）+（根号下1+x）+（根号下1-x） 的值域。

求函数f（x）=（根号下1-x^2 ）+（根号下1+x）+（根号下1-x） 的值域。要详细过程及思路

Answer 1

注意到1-x²=(1+x)(1-x)
并且有(1+x)+(1-x)=2
设a=√1-x b=√1+x
a b都属于[0,√2]
并且a²+b²=2
原式=ab+a+b
(a+b)²=2+2ab
得ab=(a+b)²/2-1
令t=a+b
则原式=t²/2+t-1
容易知道t属于[√2,2]
原式在这个区间递增
因此原式最小值为√2，最大值为3
即f(x)值域为[√2,3]

追答

睡觉前忍着困意手打…

追问

如何判断t属于【根号2，2】？

追答

可以换元a=√2cosθ，b=√2sinθ，θ∈[0,π/2]
则t=a+b=…=2sin(θ+π/4)
之后就很容易了

追问

准高一还没学三角函数...

追答

呃呃呃…那就是线性规划也没学咯…这就有点麻烦了…

基本不等式有没有学？…虽然我不确定这道题能用基本不等式做

追问

有

追答

2=a²+b²≥2ab
ab≤1
(a+b)²=2+2ab≤4
a+b≤2
至于a+b≥√2…这个用基本不等式是弄不出来的…我还得再想想…

(a+b)²=2+2ab≥2
a+b≥√2
我发现我想复杂了

或者也可以把b=t-a代入a²+b²=2，得到2a²-2at+t²-2=0，利用一元二次方程根的分布解出t的范围

不过不管怎样还是觉得我的做法写的过程有点多…

追问

嗯...谢谢了

Answer 2

（1）t平方 得出=2（1+根号下1-x^2） 最大也就是x=0的时候 t平方≤4 因为t≥0 所以 t取值为[0,2]
(2)t平方=2（1+根号下1-x^2） 所以我们有 根号下1-x^2=(t^2-2)/2 故f(x)=a(t^2-2)/2+t
第三问结合1、2即可

Answer 3

根据函数得定义域x∈[-1,1],
设x=sint，t∈[-π/2,π/2],此范围内cos(t/2)≥sin(t/2),cost≥0,
cos(t/2)∈[√2/2,1],
f(x)=cost+2cos(t/2)
=2cos²(t/2)+2cos(t/2)-1
=2[cos(t/2)+1/2]²-3/2
f(x)max=9/2-3/2=3,
f(x)min=3/2+√2-3/2=√2,
所以函数值域为f(x)∈[√2,3]。