Question

求矩阵A=(2 -1 1 0 1 1 -1 1 1)的特征值和特征向量

Answer 1

要求矩阵 A=(2 -1 1 0 1 1 -1 1 1) 的特征值和特征向量，我们需要按照以下步骤进行：

• 首先，计算特征多项式。特征多项式由以下方程给出：det(A - λI) = 0，其中 I 是单位矩阵，λ 是待求的特征值。

构造方程 A - λI：
A - λI = (2 - λ) (-1) 1
0 (1 - λ) 1
-1 1 (1 - λ)

• 计算特征多项式的行列式：
  det(A - λI) = (2 - λ) [(1 - λ)(1 - λ) - 1] - (-1)(0 - λ) + 1[(-1)(1 - λ) - 1(0 - λ)]
  = (2 - λ) [(1 - λ)^2 - 1] + λ + (λ - 1)
  = (2 - λ) [1 - 2λ + λ^2 - 1] + λ + (λ - 1)
  = (2 - λ) [-2λ + λ^2] + λ + (λ - 1)
  = λ^3 - 4λ^2 + 5λ - 2

• 解特征多项式的方程，求解 λ：
  将特征多项式 λ^3 - 4λ^2 + 5λ - 2 = 0 因式分解得到：
  (λ - 1)(λ - 1)(λ - 2) = 0

得到三个特征值：λ1 = 1，λ2 = 1，λ3 = 2。

• 计算每个特征值对应的特征向量：
  对于每个特征值，我们需要求解线性方程组 (A - λI)X = 0，其中 X 是特征向量。

对于 λ1 = 1，我们求解 (A - I)X = 0：
(1 - 1) (-1) 1 x1 0
0 (0) 1 x2 0
-1 1 (0) x3 0

得到方程组：-x1 + x2 = 0，x3 = 0。

特征向量为 X1 = [1, 1, 0]。

对于 λ2 = 1，我们求解 (A - I)X = 0：
(1 - 1) (-1) 1 x1 0
0 (0) 1 x2 0
-1 1 (0) x3 0

得到方程组：-x1 + x2 = 0，x3 = 0。

特征向量为 X2 = [0, 0, 1]。

对于 λ3 = 2，我们求解 (A - 2I)X = 0：
(2 - 2) (-1) 1 x1 0
0 (-1) 1 x2 0
-1 1 (-1) x3 0

得到方程组：-x1 + x2 - x3 = 0，x3 = 0。

特征向量为 X3 = [1, 1, 1]。

综上所述，矩阵 A=(2 -1 1 0 1 1 -1 1 1) 的特征值为 λ1 = 1，λ2 = 1，λ3 = 2，对应的特征向量为 X1 = [1, 1, 0]，X2 = [0, 0, 1]，X3 = [1, 1, 1]。