Question

斯特瓦尔特定理的定理内容

Answer 1

　　斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。

　　定理内容
　　设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有：
　　AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。

　　证明方法
　　证明：
　　在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理[2] 有：
　　AC²=AD²+DC²-2DC·DH
　　斯特瓦尔特定理
　　AB²=AD²+BD²+2BD·DH
　　用BD乘(1)式两边得：
　　AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·BD
　　用DC乘(2)式两边得：
　　AB²·DC=AD²·DC+BD²·DC+2BD·DH·DC
　　由 ① + ② 得到：
　　AC²·BD+AB²·DC=AD²·(BD+DC)+DC²·BD+BD²·DC
　　=AD²·BC+BD·DC·BC。
　　∴AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。
　　或者根据余弦定理得：
　　AB²=PB²+PA²-2PB·PA·cos∠APB
　　AC²=PA²+PC²-2PA·PC·cos∠APC
　　对上述两式分别乘以BP，PC后相加整理，化简即可
　　斯特瓦尔特定理的逆定理成立。

　　推论
　　斯特瓦尔特定理还有如下推论
　　(1)若AB=AC，则AD^2=AB^2-BD·DC；
　　(2)若AP为BC中线，则AP²=1/2(AB²+AC²)-1/4BC² （即中线长定理）；
　　(3)若AP为∠A内角平分线，则AP²=AB·AC﹣BP·PC （即角平分线长定理）；
　　(4)若AP为∠A外角平分线，则AP²=﹣AB·AC+BP·PC；
　　(5)若BP/BC=λ，则AP²=λ·﹙λ﹣1﹚·BC²+﹙1﹣λ﹚·AB²+λ·AC²。
　　并且斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化。

Answer 2

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有：
AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。