Question

如何证明反正弦函数与反余弦函数之和是一个定值

Answer 1

解：证明反正弦函数和反余弦函数之和是一个定值，
思路：把证明结论用数学语言表达
证明：y=arccosx,x:[-1,1],y=arcsinx,x:[-1,1]
y1+y2=arccosx+arcsinx=C(C是常数）
y1=arccosx,x:[-1,1]
y1:[0,pai],
y2=arcsinx,x:[-1,1]
y2:[-pai/2,pai/2]
cosy1=cosarccosx=x
siny2=sinarcsinx=x
y1-pai/2:[-pai/2,pai/2]
y2:[-pai/2,pai/2]
二者都是属于[-pai/2,pai/2]的元素，
(1)-(2)
cosy1-siny2=0
cosy1=siny2
cosy1=cos(pai/2-y2)
y1:[0,pai],y2:[-pai/2,pai/2],-y2:[-pai/2,pai/2],pai/2-y2属于[0,pai]
y1,pai/2-y2属于[0,pai]
y=cosx在[0,pai]上单调递减，是单调的，
cosy1=cos(pai/2-y2)=a的解是唯一的
y1=pai-y2
y1+y2=pai
arccosx+arcsinx=pai(是常数，是定值）
证明完毕。

Answer 2

α=arcsinx,β=arccosx 则cosβ=sinα=sin(90°-α) 所以90°-α=β 即：arcsinx+arccosx=90°