lim(1/xarctanx+xsinx/xx+1)
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由于0≤|xsinx/(x²+1)|<|xsinx/x²|=|sinx/x|
而当x→∞时,lim0=lim|sinx/x|=0
夹逼定理,lim(x→∞)|xsinx/(x²+1)|=0
根据极限的定义,对于任意E>0,存在X>0,当|x|>X时,||xsinx/(x²+1)|-0|=|xsinx/(x²+1)-0|<E
即lim(x→∞)xsinx/(x²+1)=0
又∵arctanx有界,1/x是无穷小,∴lim(x→∞)1/x*arctanx=0
∴原式=0
而当x→∞时,lim0=lim|sinx/x|=0
夹逼定理,lim(x→∞)|xsinx/(x²+1)|=0
根据极限的定义,对于任意E>0,存在X>0,当|x|>X时,||xsinx/(x²+1)|-0|=|xsinx/(x²+1)-0|<E
即lim(x→∞)xsinx/(x²+1)=0
又∵arctanx有界,1/x是无穷小,∴lim(x→∞)1/x*arctanx=0
∴原式=0
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