Question

帮忙解一下这一题的过程

帮忙解一下这一题的过程请问柯西中值定理中F(b)-F(a)与拉格朗日中值定理中的b-a 在意义和图像上有何不同

Answer 1

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊形式。

当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
补充：
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x）满足
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b）内可导，
那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b），使等式
f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)
成立。
柯西中值定理：
如果函数f(x）及F(x）满足
⑴在闭区间[a,b]上连续；
⑵在开区间（a,b）内可导；
中值定理
⑶对任一x(a,b），F'(x)!=0
那么在（a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ξ）/F'（ξ）成立。
也叫Cauchy中值定理。

追问

柯西中值定理中f(x)代表的是曲线吗，F(x)代表的又是什么呢

追答

都是曲线。用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，这一点Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。

追问

在拉格朗日中，a和b代表的不是，x轴上的两个点吗 ， 在柯西中值定理中F(a) 和 F(b)代表的是什么啊

追答

柯西中值定理：
如果函数f(x）及F(x）满足...
定理当中已经说了F(x）是曲线，那么当ab确定的情况下，F(a) 和 F(b)是一个值。

追问

追答

LZ，请问你是哪方面没看明白？

追问

我就是看不懂F(a)那些F是什么意思

😭😭

F(a)是自变量f(a)是因变量吗

追答

是的，其实他们两个就是方程关系。

追问

柯西中的F(a)与F(b)和拉格朗日中的a和b是同一个意思，就是拉格朗日中的a与b是确定的，柯西中的F(a)与F(b)不是确定的，这样理解对吗

追答

a与b、F(a)与F(b)都是给定区间后可以计算的某个值。F（x）作为参数方程，和普通函数y=f(x)还不太一样，需要消参。
但如果用柯西，可以直接解题而忽略消参过程。
其实还有个罗尔定理，你学过就明白了。

追问

这里是不是用到了某部分的基础知识啊，我的基础不太好，所以不能理解。

追答

你还是加我V吧... 写明是你
其实公式就是工具 会解题就好 274078078