Question

已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)²+t，求证：t=-1是{an}为等差数列的充要条件。

已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)²+t，求证：t=-1是{an}为等差数列的充要条件。

Answer 1

证：

充分性：已知t=-1，Sn=(n+1)²+t，则{an}是等差数列

Sn=(n+1)²-1

n=1时，a1=S1=(1+1)²-1=3

n≥2时，

an=Sn-S(n-1)=(n+1)²-1-(n²-1)=2n+1

n=1时，a1=2×1+1=3，同样满足表达式

数列{an}的通项公式为an=2n+1

a(n+1)-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2，为定值

数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，命题成立。

必要性：已知{an}是等差数列，Sn=(n+1)²+t，则t=-1

n=1时，a1=S1=(1+1)²+t=t+4

n≥2时，

an=Sn-S(n-1)=(n+1)²+t-(n²+t)=2n+1

a2=2×2+1=5

n≥2时，

a(n+1)-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2，为定值

数列{an}从第2项开始，是以2为公差的等差数列

要a1是等差数列的项，a2-a1=2

5-(t+4)=2

解得t=-1，命题成立

综上，得：“t=-1”是“数列{an}是等差数列”的充要条件。

Answer 2

Sn=（n+1）²+t
Sn-1=n²+t
两式相减an=2n+1
满足此式的条件是要验证a1是否相等 2²+t=3 t=-1 证了必要条件
至于充分条件直接代入可以得到

追问

谢谢您的回答，原谅本人只能采纳一个！

Answer 3

必要条件:
Sn=(n+1)²+t,
S[n-1]=n²+t,
两式相减得an=2n+1,
故a1=3,a2=5,a3=7,......

S1=(1+1)²+t=4+t,
S1=a1,
∴4+t=3,则t=-1,
-----------------------------

充分条件:
当t=-1时,
Sn=(n+1)²+t=n²+2n,
S[n-1]=(n-1)²+2(n-1),
相减得:an=2n+1,
∴a[n+1]=2(n+1)+1=2n+3,
a[n+1]-an=2,
说明{an}是公差为2的等差数列。