Question

求高数题目

Answer 1

1） F(x)=x^2 ∫(a,x) f'(t)dt -∫(a,x)t^2 f'(t)dt

F'(x)=2x ∫(a,x) f'(t)dt +x^2 f'(x) - x^2 f'(x)=2x ∫(a,x) f'(t)dt =0

反证假设f(x)不存在驻点，则f'(x)=0恒不成立，又f(x)二阶可导，则f'(x)连续，根据零点定理，f'(x)>0或者f(x)<0恒成立

不失一般性，令f(x)>0，则 ∫(a,x) f'(t)dt >0对于x>a恒成立

所以F'(x)=2x ∫(a,x) f'(t)dt >0，与F(x)存在a1 >a的驻点矛盾

所以f(x)=在(a,正无穷大)内对任意a>0必有驻点得证，且(a,a1)之间必有f'(x)=0得点存在

2) 任意取a=1，则存在a1使得F(x)在a1处为驻点

根据1）得证明，f'(x)=0在(1,a1)上有解c1

同理，取a=a1，则存在a2使得F(x)在a2处为驻点

根据1）得证明，f'(x)=0在(a1,a2)上有解c2

根据罗尔中值定理，f'(c1)=f'(c2)=0, f''(x)在(c1,c2)上有零点