Question

请问正弦的n次方的定积分怎么计算啊？

Answer 1

正弦的n次方的定积分可以通过换元法来计算。假设要计算的积分为：

∫sin^n(x)dx

可以进行以下变量替换：

u = sin(x) (1)
du = cos(x)dx (2)

将(1)和(2)代入原积分，得到：

∫sin^n(x)dx = ∫u^n / √(1-u^2) du

这个积分可以通过反复应用分部积分和倒数恒等式来计算。具体计算过程会根据n的值而有所不同。以下是一些常见的n值的计算公式：

n = 1: ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
n = 2: ∫sin^2(x)dx = x/2 - (sin(2x))/4 + C
n = 3: ∫sin^3(x)dx = -(cos(x) - sin^3(x)/3)/2 + C
n = 4: ∫sin^4(x)dx = (3x/8 - sin(2x)/4 + sin(4x)/32) + C

对于其他n的值，计算公式会更为复杂。可以通过逐步应用分部积分来获得更高阶的计算公式。