∫dx/[x^4√(1+x^2)]求不定积分 5
1/3*(x/√(x^2+1))^(-3)+√(x^2+1) /x +c
解题过程如下:
x=tant,dx=(sect)^2dt
原积分=S1/((tant)^4*sect)*(sec)^2dt
=Scost^3/sint^4 dt
=S(1-sint^2)/sint^4d(sint)
=S(1/sint^4)dsint-1/sint^2)dsint
=-1/3*(sint)^(-3)+1/sint+c
=-1/3*(x/√(x^2+1))^(-3)+√(x^2+1) /x +c
扩展资料
常用积分公式:
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
分部积分:
(uv)'=u'v+uv'
得:u'v=(uv)'-uv'
两边积分得:∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即:∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式
也可简写为:∫ v du = uv - ∫ u dv
x=tant
∫dx/[x⁴√(1+x²)]=∫dtant/[tan⁴t√(1+tan²t)]
= ∫sect/tan⁴tdsint=∫cos³t/sin⁴tdt
=∫cos²t/sin⁴tdsint=∫1 /sin⁴ t-1/sin⁴tdsint
=-1/sint+1/(3sin³t)+C
=-sect/tant+sec³t/(3tan³t)+C
=-√(1+x²)/x+√(1+x²)³/(3x³)+C
扩展资料:
根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
= 1/2∫[(x^2+1)-(x^2-1)]/(1+x^4)dx
= 1/2 {∫(x^2+1)/(1+x^4) dx - ∫(x^2-1)/(1+x^4)dx }
= 1/2 {∫(1+1/x^2)dx /(x^2+1/x^2) - ∫(1-1/x^2)dx/(x^2+1/x^2)}
= 1/2 {∫d(x-1/x) /[(x-1/x)^2+2] - ∫d(x+1/x) /[(x+1/x)^2 -2] }
= 1/2 { 1/√2 ∫d[(x-1/x) /√2] /{[(x-1/x)/√2]^2+1} - ∫d(x+1/x) /[(x+1/x)^2 -2] }
= 1/2 { 1/√2 ∫d[(x-1/x) /√2] /{[(x-1/x)/√2]^2+1}
- 1/2√2 ∫d[(x+1/x) /√2] [ 1/{[(x+1/x)/√2] -1} - 1/{[(x+1/x)/√2] +1 }]
= √2/4*arctan[(x-1/x)/√2] - √2/8*ln|(x^2-x√2+1)/(x^2+x√2 +1)| + C
【或者,使用待定系数法,但较繁琐:】
∫[1/(1+x^4)]dx
=∫ 1/[(x^2-x√2+1)*(x^2+x√2 +1)]dx
=∫ { [ax+b]/[(x^2-x√2+1) + [cx+d]/(x^2+x√2 +1)] }dx
∫dx/[x⁴√(1+x²)]=∫dtant/[tan⁴t√(1+tan²t)]
= ∫sect/tan⁴tdsint=∫cos³t/sin⁴tdt
=∫cos²t/sin⁴tdsint=∫1 /sin⁴ t-1/sin⁴tdsint
=-1/sint+1/(3sin³t)+C
=-sect/tant+sec³t/(3tan³t)+C
=-√(1+x²)/x+√(1+x²)³/(3x³)+C
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