∫dx/[x^4√(1+x^2)]求不定积分 5
1/3*(x/√(x^2+1))^(-3)+√(x^2+1) /x +c
解题过程如下：
x=tant,dx=(sect)^2dt
原积分岩掘老=S1/((tant)^4*sect)*(sec)^2dt
=Scost^3/sint^4 dt
=S(1-sint^2)/sint^4d(sint)
=S(1/sint^4)dsint-1/sint^2)dsint
=-1/3*（sint）^（-3）+1/sint+c
=-1/3*(x/√(x^2+1))^(-3)+√(x^2+1) /x +c
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常用积分公式：
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫ u'散扒v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式
也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv
x=tant
∫dx/[x⁴√(1+x²)]=∫dtant/[tan⁴t√(1+tan²t)]
= ∫sect/tan⁴tdsint=∫cos³t/sin⁴tdt
=∫cos²t/sin⁴tdsint=∫1 /sin⁴ t-1/sin⁴tdsint
=-1/sint+1/(3sin³t)+C
=-sect/tant+sec³t/(3tan³t)+C
=-√(1+x²)/x+√(1+x²)³/(3x³)+C
扩展资料：
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过族做段求不定积分来进行胡简。这里要注意不定积分与定积分之间兆誉的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
简单计算一下即可，答首肢芹历案如者首世图所示
= 1/2∫[(x^2+1)-(x^2-1)]/（1+x^4）dx
= 1/2 {∫(x^2+1)/(1+x^4) dx - ∫(x^2-1)/（1+x^4）dx }
= 1/2 {∫(1+1/x^2)dx /（x^2+1/x^2）掘裤稿 - ∫(1-1/x^2)dx/（x^2+1/x^2）}
= 1/2 {∫d(x-1/x) /[(x-1/x)^2+2] - ∫d(x+1/x) /[(x+1/x)^2 -2] }
= 1/2 { 1/√2 ∫d[(x-1/x) /√2] /{[(x-1/x)/√2]^2+1} - ∫d(x+1/判孝x) /[(x+1/x)^2 -2] }
= 1/2 { 1/√2 ∫d[(x-1/x) /√2] /{[(x-1/x)/√2]^2+1}
- 1/2√2 ∫d[(x+1/x) /√2] [ 1/{[(x+1/x)/√2] -1} - 1/{[(x+1/x)/√2] +1 }]
= √2/4*arctan[(x-1/x)/√2] - √2/8*ln|(x^2-x√2+1)/(x^2+x√2 +1)| + C
【或者,使用待定系数法,但较繁琐：】
∫[1/（1+x^4）]dx
=∫ 1/[(x^2-x√2+1)*(x^2+x√纯谈2 +1)]dx
=∫ { [ax+b]/[(x^2-x√2+1) + [cx+d]/(x^2+x√2 +1)] }dx
∫dx/[x⁴√(1+x²)]=∫dtant/[tan⁴t√(1+tan²t)]
= ∫sect/tan⁴tdsint=∫盯槐和cos³t/sin⁴tdt
=∫cos²t/sin⁴明陵tdsint=∫1 /sin⁴ t-1/sin⁴tdsint
=-1/sint+1/(3sin³t)+C
=-sect/tant+sec³t/(3tan³t)+C
=-√(1+x²)/x+√(1+x²)³/凯盯(3x³)+C
