Question

证明方程x^3+x-1=0有且只有一个正实根。

用中值定理证明。谁有过程啊～

Answer 1

你是要用中值定理还是介值定理？介值定理的话很容易：
首先，当x趋于正负的时候，x^3+x-1也趋于正无穷，而x=0给出函数值-1<0，所以由介值定理，有一个正实根；
然后，(x^3+x-1)'=3x^2+1>0，所以这是严格递增函数，于是只有一个实根，就是前述的正实根。

貌似中值定理和这题没啥关系

Answer 2

你是要用中值定理还是介值定理？介值定理的话很容易：
首先，当x趋于正负的时候，x^3+x-1也趋于正无穷，而x=0给出函数值-1<0，所以由介值定理，有一个正实根；
然后，(x^3+x-1)'=3x^2+1>0，所以这是严格递增函数，于是只有一个实根，就是前述的正实根。
貌似中值定理和这题没啥关系

Answer 3

令f(x)=x^3+x-1
因为f(0)=-1<0
f(1)=1
所以在（0，1）之间必存在一个使f（x）=0的解！
所以原方程存在正实根！
下面证明该正实根的唯一性：（两种方法）
方法一：对f(x)求导，f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数，所以知道有且仅有一个实根且位于（0，1）之间
方法二：设该实根为x1
假设存在第二个正实根（或更多）设为x2
有x1^3+x1=x2^3+x2
化简得x1^2+x2^2+x1x2=0
因为x1>0,x2>0所以假设不成立。得证！

Answer 4

令f(x)=x^3+x-1
因为f(0)=-1<0
f(1)=1
所以在（0，1）之间必存在一个使f（x）=0的解！
所以原方程存在正实根！
下面证明该正实根的唯一性：（两种方法）
方法一：对f(x)求导，f'(x)=3x^2+1>0
可以知道f(x)为单调的增函数，所以知道有且仅有一个实根且位于（0，1）之间
方法二：设该实根为x1
假设存在第二个正实根（或更多）设为x2
有x1^3+x1=x2^3+x2
化简得x1^2+x2^2+x1x2=0
因为x1>0,x2>0所以假设不成立。得证！

Answer 5

你是要用中值定理还是介值定理？介值定理的话很容易：
首先，当x趋于正负的时候，x^3+x-1也趋于正无穷，而x=0给出函数值-1<0，所以由介值定理，有一个正实根；
然后，(x^3+x-1)'=3x^2+1>0，所以这是严格递增函数，于是只有一个实根，就是前述的正实根。
貌似中值定理和这题没啥关系