Question

微积分计算面积体积

求曲线y=x^2，x=y^2所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积

过程……

Answer 1

1.由y=√x和y=x^2解得交点(0,0),(1,1)
由平面图形面积公式得
S=∫dA=∫(√x-x^2 )dx=[(2/3x^(3/2)-1/3x^3 )](x=1)=1/3(其中积分号表示定积分，积分区域为[0,1])

注：平面曲边形的面积求法：设曲边形由两条连续曲线y=f1(x),y=f2(x)(f2(x)>=f1(x)),x∈[a,b])及直线x=a,x=b所围，则求所围面积的方法为：在[a,b]上任取子区间[x,x+dx]，与这个小区间相应的窄曲边形的面积△A近似等于高为f2(x)-f1(x)，底为dx的窄矩形面积，即面元为dA=[f2(x)-f1(x)]dx，作定积分可得面积公式A=∫[f2(x)-f1(x)]dx(其中积分区域为[a,b])
2.曲线y=x^2与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积为
V1=∫πx^4dx=πx^5/5(x=1)=π/5 （其中积分号表示定积分，积分区间为[0,1])
曲线y=√x与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积为
V2=∫πxdx=πx^2/2(x=1)=π/2 （其中积分号表示定积分，积分区间为[0,1])
所以曲线y=x^2，x=y^2所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为曲线y=√x与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积与曲线y=x^2与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积之差，即
V=V2-V1=π/2-π/5=3π/10

注：旋转体的体积的求法：设曲线y=f(x)与直线x=a,x=b所围成的图形绕x轴旋转一周生成旋转体，在闭区间[a,b]上任取一子区间[x,x+dx]，由于体积是由平面图形旋转一周生成的，所以用底面积为A(x)=πy^2=πf^2(x)，高为dx的圆柱体的体积近似代替小旋转体的体积得体积微分dV=πy^2dx=πf^2(x)dx，在[a,b]上作定积分，得旋转体的体积为 V=∫dV=∫πf^2(x)dx （其中积分区间为[a,b])
PS:解此类题目一般用微元法即可，即就某一无限小区间仔细分析

Answer 2

面积＝（√x－x²）在[0，1]上的定积分
＝2／3－1／3＝1／3
体积 ＝（√y－y²）×2πy在[0，1]上的定积分
＝2π｛（2／5）y的5／2次方－（1／4）Y的4次方｝在[0，1]上的端点值差
＝2π（2／5－1／4）
＝3π／10
（π是圆周率，求体积用的是“套筒法”。）

Answer 3

联立方程:
y=x^2
x=y^2

y=y^4
y^4-y=0
y(y^3-1)=0
y1=0,x1=0
y2=1,x2=1

根据积分的知识有
曲线y=x^2，x=y^2所围成的平面图形的面积为:
S=积分(0,1)[根号x-x^2]dx
=[2/3x^(3/2)-x^3/3](0,1)
=1/3

Answer 4

解;
联立方程:
y=x^2
x=y^2

y=y^4
y^4-y=0
y(y^3-1)=0
y1=0,x1=0
y2=1,x2=1

根据积分的知识有
曲线y=x^2，x=y^2所围成的平面图形的面积为:
S=积分(0,1)[根号x-x^2]dx
=[2/3x^(3/2)-x^3/3](0,1)
=1/3

该图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为:
抛物线y^2=x绕x轴旋转得到的立体体积减去
抛物线x^2=y绕x轴旋转得到的立体体积之差
抛物线y^2=x绕x轴旋转得到的立体体积为:
V1=pai积分:(0,1)[根号x]^2dx
=pai积分:(0,1)xdx
=paix^2/2|(0,1)
=pai/2
抛物线y=x^2绕x轴旋转得到的立体体积为:
V2=pai积分(0,1)[x^2]^2dx
=paix^5/5|(0,1)
=pai/5

所以所求的体积为:}
V=V1-V2
=pai/2-pai/5
=3pai/10

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定义在[a,b]上的函数,
绕x轴旋转得到的体积为;
V=pai积分:(a,b)[f(x)]^2dx