Question

已知向量a,b.c都是非零向量，其中任意2个向量都不平行，

已知向量a+b与向量c平行，向量a+c与向量b平行。求证向量b+c与向量a平行.....

Answer 1

∵a+b‖c,a+c‖b,且a,b,c非零且互不平行
∴可以设：a+b=nc,a+c=mb(n,m≠0)

联立上两式，解：

∵b=nc-a
∴a+c=mb=m(nc-a)
(mn-1)c=(m+1)a

1、当：mn=1，则得：0=(m+1)a，因为a≠0，所以m+1=0，m=-1，故n=-1
此时：a+b=-c,a+c=-b,易得：b+c=-a，即a,b,c是一个三角形首尾相连的三条边向量，满足向量b+c与向量a平行。

2、当：mn≠1，可解得：
c=(m+1)a/(mn-1)
同理解得：
b=(n+1)a/(mn-1)
但是a,b,c非零且互不平行，故定有m+1=0，n+1=0，得m=-1,n=-1,mn=1，与这种情况的条件矛盾。所以这种情况不可能存在。

∴综上：a,b,c就是一个三角形首尾相连的三条边向量，且向量b+c与向量a平行。