大学高数,数项级数的审敛法,判断下列级数的敛散性
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解:(1)题,∵n→∞时,1-cos(π/n)~1-[1-(1/2)(π/n)^2]=(1/2)(π/n)^2,∴级数∑[1-cos(π/n)]√(n+1)与级数∑(1/2)√(n+1)(π/n)^2有相同的敛散性。
而,∑(1/2)√(n+1)(π/n)^2=(1/2)(π^2)∑√(n+1)/n^2~(1/2)(π^2)∑1/n^(3/2)。后者是p=3/2>1的p-级数,收敛。∴级数∑[1-cos(π/n)]√(n+1)收敛。
(2)题,设an=lnn/[(2^n)√n],∵lim(n→∞)丨an+1/an丨=(1/2)lim(n→∞)[ln(n+1)/lnn][n/(n+1)^(1/2)=1/2<1,
∴根据达朗贝尔判别法/比值审敛法,级数∑lnn/[(2^n)√n]收敛。供参考。
而,∑(1/2)√(n+1)(π/n)^2=(1/2)(π^2)∑√(n+1)/n^2~(1/2)(π^2)∑1/n^(3/2)。后者是p=3/2>1的p-级数,收敛。∴级数∑[1-cos(π/n)]√(n+1)收敛。
(2)题,设an=lnn/[(2^n)√n],∵lim(n→∞)丨an+1/an丨=(1/2)lim(n→∞)[ln(n+1)/lnn][n/(n+1)^(1/2)=1/2<1,
∴根据达朗贝尔判别法/比值审敛法,级数∑lnn/[(2^n)√n]收敛。供参考。
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