Question

大学高数，数项级数的审敛法，判断下列级数的敛散性

Answer 1

解：(1)题，∵n→∞时，1-cos(π/n)~1-[1-(1/2)(π/n)^2]=(1/2)(π/n)^2，∴级数∑[1-cos(π/n)]√(n+1)与级数∑(1/2)√(n+1)(π/n)^2有相同的敛散性。
而，∑(1/2)√(n+1)(π/n)^2=(1/2)(π^2)∑√(n+1)/n^2~(1/2)(π^2)∑1/n^(3/2)。后者是p=3/2>1的p-级数，收敛。∴级数∑[1-cos(π/n)]√(n+1)收敛。
(2)题，设an=lnn/[(2^n)√n]，∵lim(n→∞)丨an+1/an丨=(1/2)lim(n→∞)[ln(n+1)/lnn][n/(n+1)^(1/2)=1/2<1，
∴根据达朗贝尔判别法/比值审敛法，级数∑lnn/[(2^n)√n]收敛。供参考。