sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 这个公式怎么来的，公式证明，照片了字都弄清楚
首先，建立直角坐标系，在笛卡尔坐标系.y中制作单位圆O，制作角度a、b和-B，使得角度a的开口边缘为Ox，相交圆O在点P1，端部相交圆O在点。P2，角度B的开始边缘是OP2，结束相交圆O在点P3，角度-B的开始边缘是OP1，结束相交圆O在点P4。
P1（1,0） 、P2(cosa,sina) 、P3(cos(a+b),sin(a+b)) 、P4(cos(-b),sin(-b))
由P1P3=P2P4及两点间距离公式得：
[cos(a+b)-1]^2+sin^2(a+b) =[cos(-b)-cosa]^2+[sin(-b)-sina]^2
展开整理得
2-2cos(a+b) =2-2(cosacosb-sinasinb)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
根据诱导公式sin(π/2-a)=cosa
得sin(a+b)=cos[π/2-(a+b)]=sinacosb+cosasinb
扩展资料：
三角函数是数学中属于初等函数的超越函数的函数。它们的本质是任何一组角度和比率集合的变量之间的映射。通常的三角函数定义在平面直角坐标系中。
它的域是整个实数域。另一个定义是直角三角形，但不是完全的。现代数学把它们描述为无穷序列的极限和微分方程的解，把它们的定义推广到复数。
三角函数公式似乎是许多复杂的，但只要我们掌握三角函数的本质和内在规律，我们就会发现三角函数的各种公式之间有很强的联系。掌握三角函数的内在规律和本质，也是学好三角函数的关键。
1.两角和与差的余弦公式证明：
解释，如图，设大角为a，小角为b，则两角差为a-b，为向量OP和向量OQ夹角
在三角函数单位圆中，半径为1，OP=(cosa,sina)，OQ=（cosb,sinb）
OP*OQ=cosacosb+sinasinb (向量点乘)
OP*OQ=1*1*cos(a-b)=cos(a-b) (向量的数量积)
如果计算cos(a+b)时，看作 cos[a-（-b）]，利用上面证明出的公式带入计算即可
2.两角和与差的正弦公式证明：
利用诱导公式：sina=cos(π/2 -a)
看作cos[(π/2 -a)-b] 这个是证明出来的公式，直接用
如图所示作单位圆,设∠AOC=α,∠COD=β,则∠AOD=α+β,AO=1
作AB⊥Ox交Ox于B,作AC⊥OC交OC于C,作CE⊥AB交AB于E,作CD⊥Ox交Ox于D
易证△OBF∽△ACF
∴∠COD=∠CAF=β
sin (α+β)
=sin∠AOD
=AB/AO
=AB
=AE+EB
=AE+CD
=AC*cosβ+OC*sinβ
=AO*sinαcosβ+AC*cosαsinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
如图所示作单位圆,设∠AOC=α,∠COD=β,则∠AOD=α+β作AB⊥Ox交Ox于B,作AC⊥OC交OC于C,作CE⊥AB交AB于E,作CD⊥Ox交Ox于D易证△OBF∽△ACF∴∠COD=∠CAF=β，
sin (α+β)=sin∠AOD=AB/AO
AB=AE+EB=AE+CD=AC*cosβ+OC*sinβ=AO*sinαcosβ+AO*cosαsinβ
sin (α+β)=sin∠AOD=AB/AO=（AO*sinαcosβ+AO*cosαsinβ）/AO=sinαcosβ+cosαsinβ
楼上的回答都很复杂，其实只需要用复平面和代数的方法就可以轻松算出
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