Question

定积分的证明

设y=f(x)及y=g(x)在[a,b]上连续。证明：
(∫f(x)g(x)dx)^2<=∫[f(x)]^2dx * ∫[g(x)]^2dx
其中所有的积分上限都是b，下限都是a 。
（提示：将不等式∫[f(x)+tg(x)]^2dx>=0左端的被积函数展开为参数t的二次三项式。）

Answer 1

(∫f(x)g(x)dx)^2<=∫[f(x)]^2dx * ∫[g(x)]^2dx

考虑函数显然∫[f(x)+tg(x)]^2dx>=0
因此展开得：
∫[f(x)^2+2tf(x)g(x)+t^2g(x)^2]dx>=0
则：t^2∫g(x)^2dx+2t∫f(x)g(x)dx+∫[f(x)^2dx>=0
即关于t的抛物线方程恒大于等于0，
则根据图像得：
判别式<=0,且开口向上
即∫g(x)^2dx>0,恒成立
4[∫f(x)g(x)dx]^2-4∫[f(x)^2dx*∫g(x)^2dx<=0
即(∫f(x)g(x)dx)^2<=∫[f(x)]^2dx * ∫[g(x)]^2dx
证毕！

Answer 2

这是柯西不等式,你上网搜下就有了(搜柯西不等式)
我用的手机,所以不好把过程写出来,不好意思呀
其实证明方法挺多的,不一要用那个提示的
如果上网没搜到,你说下,我有空时上网写下过程