Question

求这道题详细解法，谢谢！

Answer 1

无穷级数∑ (-1)^(n-1) *1/n²
如果可以使用结论∑ 1/n² = π²/6,那么求这个和不难:
∑ (-1)^(n-1)/n²
= ∑ 1/(2k-1)² - ∑ 1/(2k)² (对n分奇偶,n = 2k-1或n = 2k)
= ∑(1/(2k-1)²+1/(2k)²) - 2·∑ 1/(2k)²
= ∑ 1/n² - 2·∑1/(2k)²
= ∑1/n² - 1/2·∑1/k²
= 1/2·∑ 1/n²
= π²/12.
如果不能用∑1/n² = π²/6就比较麻烦了.
一种方法是用傅里叶级数,例如考虑f(x) = x在(-π,π)上的傅里叶展开,
然后用帕塞瓦尔恒等式可以证明∑1/n²= π²/6.
或者也可以直接考虑f(x) = x²在(-π,π)上的傅里叶展开,
然后直接代入x = 0证明∑(-1)^(n-1)/n² = π²/12.

Answer 2

无法求和。
原题是证明一个不等式吧？